Wikipedia

Topologia produktowa: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
m Topologia Tichonowa przeniesiono do Topologia produktowa nad przekierowaniem: ogólniejsze pojęcie
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
wygładzenie
Linia 1:
'''Topologia produktowa''' – w [[topologia|topologii]] i związanych z nią działach [[matematyka|matematyki]] naturalna [[przestrzeń topologiczna|topologia]], w którą wyposażona jest ''przestrzeń produktowa'' będąca [[iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]] [[rodzina zbiorów|rodziny]] [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznych]]. Różni się ona od być może bardziej oczywistej [[topologia przedziałowa|topologii przedziałowej]], również zadawanej na na przestrzeni produktowej, która pokrywa się z topologią produktową, gdy rozważa się produkt skończenie wielu przestrzeni. Topologię produktową uważa się jednak za „prawidłową” z powodu, iż czyni ona z przestrzeni produktowej [[produkt (teoria kategorii)|teoriokategoryjny produkt]] jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest zbyt [[porównanie topologii|uboga]]; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.
'''Topologia Tichonowa''' to pojęcie w [[topologia|topologii]] odnoszące się do sposobu wprowadzania rodziny [[Zbiór otwarty|zbiorów otwartych]] na [[Iloczyn kartezjański|iloczynie kartezjańskim]] [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznych]].
 
Produkty skończenie wielu przestrzeni topologicznych były rozważane od niemal pierwszychod latpoczątków topologii, alejednak struktura topologii dlatopologie produktów kartezjańskich dowolnych rodzin przestrzeni topologicznych byłazostały opublikowana dopiero w [[1930]]opisane przez rosyjskiego topologa [[Andriej Tichonow|Andrieja Tichonowa]] dopiero w [[1930]] roku. Z tego powodu inną nazwą topologii produktowej jest '''topologia Tichonowa'''.▼
 
== Definicja ==
Dla przestrzeni
Przypuśćmy że <math>\{(X_i,\tau_i):i\in I\}</math> jest rodziną przestrzeni topologicznych i niech <math>X=\prod\limits_{i\in I} X_i</math>. Dla skończonego zbioru indeksów <math>\{i_1,\ldots,i_n\}\subseteq I</math> i dla ciągu zbiorów <math>U_1\in \tau_{i_1},\ldots, U_n\in \tau_{i_n}</math> otwartych w odpowiednich topologiach zdefiniujmy
: <math>X := \mboxprod_{pr}_tf=fti \in I} X_i,</math>▼
<center>
czy też (być może nieskończonego) [[iloczyn kartezjański|produktu kartezjańskiego]] przestrzeni topologicznych <math>X_i</math> [[rodzina zbiorów|indeksowanych]] za elementów pewnego zbioru <math>I</math> oraz '''[[rzut (teoria mnogości)|rzutów kanonicznych]]''' <math>p_i\colon X \to X_i</math> '''topologią produktową''' określoną na <math>X</math> nazywa się [[porównanie topologii|najuboższą]] topologię (tzn. topologię o jak najmniejszej liczbie zbiorów otwartyc), dla której wszystkie rzuty <math>p_i</math> są [[funkcja ciągła|odwzorowaniami ciągłymi]].
<math>V(i_1,\ldots,i_n,U_1,\ldots,U_n)=\big\{f\in \prod\limits_{i\in I} X_i: f(i_1)\in U_1\ \wedge\ldots\wedge f(i_n)\in U_n\big\}.</math>
</center>
Wówczas rodzina
<center>
<math>{\mathcal B}=\big\{V(i_1,\ldots,i_n,U_1,\ldots,U_n):n\in {\mathbb N}\ \wedge\ i_1,\ldots,i_n\in I\ \wedge\ U_1\in \tau_{i_1},\ldots, U_n\in\tau_{i_n}\big\}</math></center>
jest zamknięta na skończone [[Przekrój (matematyka)|przekroje]], pokrywa <math>X</math> i zawiera zbiór pusty. Jest więc ona [[Baza (topologia)|bazą]] pewnej topologii <math>\tau</math> na <math>X</math>. Topologia <math>\tau</math> jest nazywana '''topologią Tichonowa''' a przestrzeń topologiczna <math>(X,\tau)</math> bywa nazywana '''przestrzenią produktową'''.
 
Zbiory otwarte w produkcie są sumami (skończonymi lub nieskońcoznymi) zbiorów postaci <math>\prod U_i,</math> gdzie <math>U_i</math> jest zbiorem otwartym w <math>X_i,</math> przy czym math>U_i \ne X_i</math> tylko skończenie wiele razy.
▲Produkty skończenie wielu przestrzeni topologicznych były rozważane od niemal pierwszych lat topologii, ale struktura topologii dla produktów kartezjańskich dowolnych rodzin przestrzeni topologicznych była opublikowana dopiero w [[1930]] przez rosyjskiego topologa [[Andriej Tichonow|Andrieja Tichonowa]].
 
Topologia produktowa na <math>X</math> to topologia generowana przez zbiory postaci <math>p_i^{-1}(U),</math> gdzie <math>i \in I,</math> zaś <math>U</math> jest zbiorem otwartym w <math>X_i.</math> Innymi słowy zbiory <math>\{p_i^{-1}(U)\}</math> stanowią [[baza (topologia)|podbazę]] topologii przestrzeni <math>X.</math> [[Podzbiór]] <math>X</math> jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest (być może nieskończoną) [[suma zbiorów|sumą]] [[przekrój zbiorów|przekrojów]] skończenie wielu zbiorów postaci <math>p_i^{-1}(U).</math> Zbiory <math>p_i^{-1}(U)</math> nazywa się czasami ''[[zbiór cylindryczny|cylindrami otwartymi]]'', a ich przekroje – ''[[zbiór cylindryczny|zbiorami cylindrycznymi]]''.
 
[[Baza (topologia)|Bazę]] przestrzeni produktowej może być opisana za pomocą baz przestrzeni <math>X_i.</math> Składa się ona ze zbiorów <math>\prod U_i,</math> gdzie dla [[zbiór skończony|koskończenie wielu]] (wszystkich poza skończenie wieloma) <math>i</math> jest <math>U_i = X_i</math> (jest całą przestrzenią), a w przeciwnym wypadku jest to zwykły zbiór otwarty w <math>X_i.</math>
 
W szczególności dla produktu skończonego (a więc przede wszystkim produktu dwóch przestrzeni) produkty elementów bazowych <math>X_i</math> dają bazę produktu <math>\prod X_i.</math>
 
W ogólności produkt topologii przestrzeni <math>X_i</math> jest bazą tzw. [[topologia przedziałowa|topologii przedziałowej]] na <math>X,</math> która zwykle jest [[porównanie topologii|silniejsza]] niż topologia produktowa, jednak pokrywa się z nią w przypadku produktów skończonych.
 
== Przykłady ==
{{seealso|topologia produktowa}}
* Jeśli rozważymyWprowadzając topologię Tichonowaproduktową na produkcie kartezjańskim skończenie wielu kopii przestrzeni [[Liczbyliczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R</math> (z naturalną topologią) tootrzymuje otrzymamysię zwykłą [[Przestrzeńprzestrzeń euklidesowa|przestrzeńtopologię euklidesową]] na <math>\mathbb R^n.</math>
* [[Zbiór Cantora]] jest [[Homeomorfizm|homeomorficzny]] z produktem Tichonowa przeliczalnie wielu przestrzeni [[Przestrzeń topologiczna dyskretna|dyskretnych]] <math>\{0,1\}</math>.
 
* Przestrzeń <math>{\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}</math> [[Liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] (z topologią [[Podprzestrzeń (topologia)|podprzestrzeni]] przestrzeni <math>{\mathbb R}</math>) jest homeomorficzna z produktem Tichonowa przeliczalnie wielu przestrzeni [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>{\mathbb N}</math> (gdzie każda kopia <math>{\mathbb N}</math> wyposażona jest w topologię dyskretną).
[[Zbiór Cantora]] jest [[homeomorfizm|homeomorficzny]] z produktem przeliczalnie wielu [[przestrzeń topologiczna dyskretna|przestrzeni dyskretnych]] <math>\{0, 1\},</math> a przestrzeń [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] z produktem przeliczalnie egzemplarzy [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] z topologią dyskretną.
 
== Własności ==
Niech <math>\bigl\{(X_i, \tau_i):\bigr\}_{i \in I\}</math> będzie rodziną przestrzeni topologicznych, <math>X=\prod\limits_{i\in I} X_i</math> i niech <math>\tau</math> będzie topologią Tichonowaproduktową na <math>X</math>.
* Topologia <math>\tau</math> jest najsłabszą topologią na <math>X</math> taką że każda projekcja <math>\pi_i:X\longrightarrow X_i:f\mapsto f(i)</math> (dla <math>i\in I</math>) jest [[Funkcja ciągła|ciągła]].
* Wspomniane powyżej projekcje <math>\pi_i</math> są również [[Odwzorowanie otwarte|odwzorowaniami otwartymi]].
Linia 29 ⟶ 35:
* Jeśli zbiór indeksów <math>I</math> jest [[Zbiór przeliczalny|przeliczalny]] i każda przestrzeń <math>X_i</math> spełnia pierwszy [[Aksjomaty przeliczalności|aksjomat przeliczalności]], to przestrzeń produktowa <math>X</math> spełnia ten sam aksjomat. Analogiczne stwierdzenie zachodzi też dla drugiego aksjomatu przeliczalności.
* Jeśli <math>|I|\leqslant 2^{\aleph_0}</math> i każda z przestrzeni <math>X_i</math> jest [[Przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowa]], to przestrzeń produktowa też jest ośrodkowa.
* Zachodzi następujące '''Twierdzenietwierdzenie Tichonowa''' (1930):
:: ''Jeśli <math>X_i</math> (dla <math>i\in I</math>) są [[przestrzeń zwarta|przestrzeniami zwartymi]], to przestrzeń produktowa <math>\prod\limits_{i\in I} X_i</math> jest zwarta.''
 
Twierdzenie powyższe zostało opublikowane w [[1930]] przez [[Andriej Tichonow|Tichonowa]]. Warto zauważyć że (sformułowaneSformułowane w pełnej ogólności) twierdzenie to twierdzenie jest równoważne z [[Aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]], a ograniczone do [[Przestrzeń Hausdorffa|przestrzeni Hausdorffa]] jest równoważne ze stwierdzeniem, że każdy [[ideał (teoria pierścieni)|ideał]] na [[Algebra Boole'a|algebrze Boole'a]] może być rozszerzony do [[ideał pierwszy|ideału pierwszego]]. (Równoważność odpowiednich stwierdzeń zachodzi na gruncie [[Aksjomaty Zermelo-Fraenkela|ZF]].)
 
== ''m''-produktUogólnienia ==
{{seealso|multifunkcja|m-produkt}}
Pojęcie produktu rodziny zbiorów (i topologii) uogólnia się poprzez zastąpienie funkcji (będących elementami przestrzeni produktowej) [[multifunkcja]]mitzw. ''multifunkcjami''. Można określić dla nich uogólnienie produktu kartezjańskiego nazywane m-''produktem''.
 
Niech <math>(X_i, \tau_i),</math> gdzie <math>i \in I</math> będą [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]]. Wówczas w ''m''-produkcie przestrzeni <math>X_i</math> można wprowadzić topologię zadaną przez [[podbaza|podbazę]] postaci
Niech <math>\{Y_t\colon t\in T\}</math> będzie rodziną zbiorów niepustych. [[m-produkt|'''''m''-produktem''']] <math>P\{Y_t\colon t\in T\}</math> tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji
: <math>f\bigl\{p_i^-(U_i),\; p_i^+(U_i)\colon Ti \rightsquigarrowin I \bigcup_mbox{t oraz } U_i \in T\tau_i\}Y_t,</math>.
gdzie <math>p</math> oznacza rzut kanoniczny.
Jeśli <math>Y_t=Y</math> dla każdego <math>t\in T</math>, to ''m''-produkt <math>P\{Y_t\colon t\in T\}</math> oznaczamy symbolem <math>Y^{mT}</math>. Jeśli <math>t\in T</math> to multifunkcję <math>\mbox{pr}_t\colon P\{Y_t\colon t\in T\}\rightsquigarrow Y_t</math> daną wzorem
▲:<math>\mbox{pr}_tf=ft\,</math>
nazywamy '''rzutowaniem''' na <math>Y_t</math>.
 
=== Topologia w ''m''-produkcie ===
Jeśli <math>(Y_t, \tau_t), t\in T</math> są [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]], to w ''m''-produkcie <math>P\{Y_t\colon t\in T\}</math> można wprowadzić topologię poprzez analogię do [[topologia Tichonowa|topologii Tichonowa]] w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie [[podbaza|podbazy]] postaci
:<math>\{\mbox{pr}_t^-(U_t), \mbox{pr}_t^+(U_t)\colon t\in T, U_t\in \tau_t\}</math>.
(por. artykuł [[multifunkcja]].)
 
== Zobacz też ==
* [[rozłączna suma (topologia)|rozłączna suma]]
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]].
* [[topologia początkowa]]
* [[przestrzeń ilorazowa]]
* [[podprzestrzeń (topologia)|podprzestrzeń]]
 
== Bibliografia ==
* Stephen Willard, ''General Topology'', (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
 
[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:Działania dwuargumentowe]]
 
[[ca:Topologia producte]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Topologia_produktowa”