Pochodna Frécheta: Różnice pomiędzy wersjami

dla dowolnie wybranego wektora <math>h \in V,</math> gdzie <math>\tau</math> wzięte jest z ciała skalarów przestrzeni <math>V</math> (zwykle jest to [[liczby rzeczywiste|liczba rzeczywista]])<ref>W definicji zanzacza się często, że otrzymane przekształcenie <math>\scriptstyle g</math> musi być [[operator liniowy ciągły|ciągłym operatorem liniowym]], jednak nie zakłada się tego w tym artykule, by móc badać jak najszerzą klasę przypadków patologicznych.</ref>. Jeśli <math>f</math> jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie <math>x,</math> to jest ona w nim również różniczkowalna w sensie Gâteaux, a <math>g</math> jest po prostu operatorem liniowym <math>\operatorname A = \operatorname Df(x).</math> Jednakże nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Jeśli <math>f</math> jest różniczkowalna w sensie Gâteaux na zbiorze otwartym <math>U \subseteq V,</math> to <math>f</math> jest różniczkowalna w sensie Frécheta, gdy jej pochodna Gâteaux jest liniowa i [[operator liniowy ograniczonaograniczony|ograniczona]] w każdym punkcie <math>U</math> oraz jest przekształceniem ciągłym <math>U \to \operatorname L(V, W).</math>