Pochodna kierunkowa: Różnice pomiędzy wersjami

Niech dana będzie [[przestrzeń euklidesowa]] <math>\mathbb R^n</math> i leżący w niej [[zbiór otwarty|podzbiór otwarty]] <math>U.</math> Funkcja <math>\mathbfmathrm f\colon U \to \mathbb R^m</math> ma '''pochodną kierunkową''' w kierunkuwzdłuż wektora ([[wektor jednostkowy|jednostkowego]]) <math>\mathbf u \in \mathbb R^n</math> w punkcie <math>\mathrm x \in U,</math> jeżeli istnieje i jest skończona [[granica funkcji|granica]]

: <math>\frac{\partial \mathbfmathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{\mathbfmathrm f(\mathrm x + t\mathbf u) - \mathbfmathrm f(\mathrm x)}{t},</math>

Jeżeli <math>\mathbfmathrm f</math> jest [[pochodna|różniczkowalna]] w <math>\mathrm x,</math> to istnieje jej [[pochodna Frécheta#Przypadek skończeniewymiarowy|pochodna]] <math>\operatorname D\mathbfmathrm f(\mathrm x)</math> w tym punkcie i wtedy

: <math>\frac{\partial \mathbfmathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf u} = \operatorname D\mathbfmathrm f(\mathrm x)(\mathbf u).</math>

: <math>\nabla \mathbfmathrm f(\mathrm x) \cdot \mathbf u \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \nabla_\mathbf u \mathbfmathrm f(\mathrm x),</math>

: <math>\frac{\partial \mathbfmathrm f}{\partial \mathbfmathrm v}(\mathrm x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\mathbfmathrm f(\mathrm x + t\mathbf v) - \mathbfmathrm f(\mathrm x)}{t|\mathbf v|},</math>

lub w przypadku, gdy <math>\mathbfmathrm f</math> jest różniczkowalna w <math>\mathrm x,</math>

: <math>\frac{\partial \mathbfmathrm f}{\partial \mathbf v}(\mathrm x) = \operatorname D\mathbfmathrm f(\mathrm x)\left(\tfrac{\mathbf v}{|\mathbf v|}\right).</math>

: <math>\tfrac{\partial \mathbfmathrm f}{\partial \mathbf u}(\mathrm x),\; \operatorname D_\mathbf u \mathbfmathrm f(\mathrm x),\; \mathbfmathrm f'_\mathbf u(\mathrm x),\; \nabla_\mathbf u \mathbfmathrm f(\mathrm x),\; \mathbf u \nabla \mathbfmathrm f(\mathrm x).</math>

Pochodna kierunkowa ma wiele znanych własności zwykłej [[pochodna|pochodnej]]. Wśród nich, dla funkcji <math>\mathbfmathrm f</math> i <math>\mathbfmathrm g</math> określonych w [[otoczenie (matematyka)|otoczeniu]] <math>p,</math> w którym są również [[pochodna zupełna|różniczkowalne]]:

* reguła sumy: <math>\nabla_\mathbf v (\mathbfmathrm f + \mathbfmathrm g) = \nabla_\mathbf v \mathbfmathrm f + \nabla_\mathbf v \mathbfmathrm g;</math>

* reguła stałej: dla dowolnej stałej <math>c</math> zachodzi <math>\nabla_\mathbf v (c\mathbfmathrm f) = c\nabla_\mathbf v \mathbfmathrm f;</math>

* [[reguła Leibniza|reguła iloczynu]] (lub Leibniza): <math>\nabla_\mathbf v(\mathbf{fg}) = \mathbfmathrm g\nabla_\mathbf v \mathbfmathrm f + \mathbfmathrm f\nabla_\mathbf v \mathbfmathrm g;</math>

* [[reguła łańcuchowa]]: jeśli <math>\mathbfmathrm g</math> jest różniczkowalna w <math>\mathrm p,</math> zaś <math>\mathbfmathrm h</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbfmathrm g(\mathrm p),</math> to

*: <math>\nabla_\mathbf v (\mathbfmathrm h \circ \mathbfmathrm g)(\mathrm p) = \nabla \mathbfmathrm h\bigl(\mathbfmathrm g(\mathrm p)\bigr) \nabla_\mathbf v \mathbfmathrm g(\mathrm p)</math>

Jeśli <math>(\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n)</math> jest [[baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] [[baza standardowa|standardową]] <math>\mathbb R^n,</math> to dla <math>\mathbf u = \mathbf e_i</math> pochodna kierunkowa funkcji <math>\mathbfmathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m</math> pokrywa się z pojęciem ''pochodnej cząstkowej''. Dla funkcji <math>\mathbfmathrm f</math> przyjmuje się zwykle oznaczenie

: <math>\frac{\partial \mathbfmathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf e_i} \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \frac{\partial \mathbfmathrm f(\mathrm x)}{\partial x_i},</math>