Arytmetyka modularna: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 595 bajtów ,  10 lat temu
Poprawiony błąd. Było napisane, że tylko dla liczb 2,4, oraz poteg nieparzystych liczb pierwszych grupa Z_n^* jest cykliczna (plus link do odpowiedniego twierdzienia [tw 11, str 193] i powiązanie z pierwiastkiem pierwotnym)
m (drobne redakcyjne)
(Poprawiony błąd. Było napisane, że tylko dla liczb 2,4, oraz poteg nieparzystych liczb pierwszych grupa Z_n^* jest cykliczna (plus link do odpowiedniego twierdzienia [tw 11, str 193] i powiązanie z pierwiastkiem pierwotnym))
Te elementy tworzą grupę, zwaną '''multiplikatywną grupą klas reszt''' modulo <math>n.</math> Oznaczana jest <math>\mathbb Z_n^*,</math> <math>U(\mathbb Z_n)</math> lub <math>(\mathbb Z/n\mathbb Z)^*</math>.
 
Element <math>a</math> jest [[Grupa_(matematyka)#Zbi.C3.B3r_generator.C3.B3w|generatorem]] grupy <math>\mathbb Z_n^*</math> wtedy i tylko wtedy, gdy liczba <math>a</math> jest [[Pierwiastek_pierwotny|pierwiastkiem pierwotnym]] liczby <math>n</math>. Grupa <math>\mathbb Z_n^*</math> jest zatem cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba <math>n</math> posiada pierwiastek pierwotny, a to zachodzi dokładnie wtedy, gdy <math>n= 2, 4</math>, gdy <math>n</math> jest [[potęga|potęgą]] nieparzystej liczby pierwszej (to znaczy postaci <math>p^\alpha</math>, <math>p</math>-nieparzysta liczba pierwsza) lub podwojoną potęgą nieparzystej liczby pierwszej (to znaczy postaci <math>2p^\alpha</math>, <math>p</math>-nieparzysta liczba pierwsza) <ref>[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1908.pdf Wacław Sierpiński, ''Teoria Liczb'', Monografie Matematyczne 19, rozdział VIII]</ref>. Tak więc grupa <math>\mathbb Z_n^*</math> jest cykliczna dla <math>n=2,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,17,18,19,22,23,25,26,27,29,31</math> itd.
Grupa ta nie zawsze jest cykliczna, jest nią natomiast dla <math>n = 2, 4</math> oraz będących naturalnymi [[potęga]]mi nieparzystych liczb pierwszych; ogólniej, jest tak, jeżeli <math>\lambda(n) = \varphi(n),</math> gdzie <math>\lambda</math> jest [[funkcja Carmichaëla|funkcją Carmichaёla]]. Implikacja ta nie działa w drugą stronę, czego przykładem może być grupa <math>\mathbb Z_{10}^*,</math> która jest cykliczna.
 
=== Pierwiastki kwadratowe z jedności ===
Anonimowy użytkownik