Zasada dobrego uporządkowania: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m WikiCleaner 0.99 - Przypis po kropce (WP:CHECK) |
drobne redakcyjne |
||
Linia 8:
* W [[aksjomatyczna teoria mnogości|aksjomatycznej teorii mnogości]] liczby naturalne definiowane są jako najmniejszy [[zbiór induktywny]] (tzn. zbiór zawierający 0 i zamknięty ze względu na operację [[następnik liczby porządkowej|następnika]]). Można pokazać (nawet bez odwoływania się do [[aksjomat regularności|aksjomatu regularności]]), że zbiór wszystkich liczb naturalnych o własności „<math>\scriptstyle \{0, \dots, n\}</math> jest dobrze uporządkowany” jest induktywny i dlatego musi zawierać wszystkie liczby naturalne; z własności tej można wydedukować, że zbiór wszystkich liczb naturalnych również jest dobrze uporządkowany.
Przytoczone wyżej wyrażenie wykorzystuje się też czasem w celu uzasadnienia dowodów następującej postaci: aby dowieść, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru <math>S</math> załóżmy przeciwnie i wywnioskujmy dzięki temu istnienie (niezerowego) najmniejszego kontrprzykładu. W dalszej kolejności wystarczy pokazać, że musi istnieć również mniejszy kontrprzykład albo, że najmniejszy kontrprzykład nim nie jest, co w obu przypadkach daje sprzeczność. Ten rodzaj argumentacji ma ten sam związek z dowodem przez [[indukcja matematyczna|indukcję matematyczną]], co „jeśli nie B, to nie A” (reguła ''[[modus tollens]]'') w stosunku do „jeśli A, to B” (reguła ''[[modus ponens]]''). Metoda ta jest podobna do
[[Garrett Birkhoff]] i [[Saunders Mac Lane]]
▲[[Garrett Birkhoff]] i [[Saunders Mac Lane]] stwierdzili w ''A Survey of Modern Algebra'', że własność ta, podobnie jak [[aksjomat ciągłości]] liczb rzeczywistych, jest niealgebraiczna, tzn. nie może być wyprowadzony z własności algebraicznych liczb całkowitych (które stanowią uporządkowaną [[dziedzina całkowitości|dziedzinę całkowitości]]).
{{przypisy}}
| |||