Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie: Różnice pomiędzy wersjami

'''Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie''' -− [[twierdzenie w]] [[algebra liniowa|algebrzealgebry liniowej]] mówiące, żeo możliwości [[funkcja#Zawężenie i przedłużenie|przedłużenia]] [[funkcja|funkcji]] określonej na [[baza (przestrzeń liniowa)|wektorach bazowych]] danej [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] do [[przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowego]] określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli <math>\scriptstyle B</math> jest [[baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] przestrzeni liniowej]] <math>\scriptstyle V</math>, a <math>\scriptstyle W</math> jest dowolną [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad tym samym [[ciało (matematyka)|ciałem]] co przestrzeń<math>\scriptstyle V,</math> zaś <math>\scriptstyle \mathrm f\colon B \to W</math> jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe <math>\scriptstyle \mathrm T\colon V \to W,</math> orazże <math>\scriptstyle \mathrm T(\mathbf b_i) = \mathrm f(\mathbf b_i)</math> dla każdego elementu <math>\scriptstyle \mathbf b_i</math> bazy <math>\scriptstyle B.</math>

== Przykład zastosowania==

[[Aksjomat wyboru]] pociągajest faktrównoważny mówiący,istnieniu żebazy każdadowolnej przestrzeń liniowa maprzestrzeni bazęliniowej. Ciało [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] jest [[rozszerzenie ciała|rozszerzeniem ciała]] [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] -; w szczególności <math>\scriptstyle \mathbb{ R}</math> jest przestrzenią liniową nad <math>\scriptstyle \mathbb{ Q}</math>, a ponadtoktórej baza <math>\scriptstyle B</math> przestrzeni(nazywana <math>\mathbb{R}</math>czasem nad[[baza ciałemHamela|bazą <math>\mathbb{Q}</math>Hamela]]) jest [[moc zbioru|mocy]] [[continuum (teoria mnogości)|continuum]]. PrzyKorzystając pomocyz twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie [[funkcja ciągła|nieciągłego]] rozwiązania [[równanie Cauchy'ego|równania Cauchy'ego]], tj. istnienie takiej funkcji <math>\scriptstyle f,</math>, żektóra spełniałaby równość <math>\scriptstyle f(x + y) = f(x) + f(y)</math> dla wszystkich liczb rzeczywistych <math>\scriptstyle x</math>, i <math>y.</math>. Prosta rzeczywista jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowa]] (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na <math>\mathbb R</math> jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje <math>\scriptstyle |\mathbb R|^{|\mathbb Q|} = \mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c</math> funkcji ciągłych na <math>\scriptstyle \mathbb R,</math> przy czym symbol <math>\scriptstyle \mathfrak c</math> oznacza [[zbiórliczba przeliczalnykardynalna|przeliczalnyliczbę kardynalną]] i [[zbiórcontinuum gęsty(teoria mnogości)|gęstycontinuum]]. wZ drugiej strony istnieje <math>\scriptstyle |\mathbb{ R|^{|B|} = \mathfrak c^\mathfrak c</math>) funkcji rzeczywistych, skądokreślonych każdana funkcja<math>B.</math> ciągłaZ na[[twierdzenie Cantora|twierdzenia Cantora]] wynika, że <math>\mathbb{R}scriptstyle \mathfrak c^\mathfrak c \geqslant 2^\mathfrak c > \mathfrak c</math> (słaba nierówność jest wyznaczonaw jednoznacznieistocie przezrównością). swojeDo wartościprzekształcenia naliniowego argumentach(spełniającego będącychrównanie liczbamiCauchy'ego wymiernymi.z Oznaczadefinicji) można przedłużyć dowolną funkcję <math>\scriptstyle f\colon B \to \mathbb R.</math> Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, żeto istniejeistnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy'ego.

== Bibliografia ==