Płaskie zginanie pręta: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne techniczne |
trochę poprawiłem |
||
Linia 1:
{{Dopracować|Artykuł wymaga poszerzenia}}
'''Zginanie''' - w [[wytrzymałość materiałów|wytrzymałości materiałów]] stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa [[moment siły|moment]], nazwany momentem gnącym, pochodzący od pary sił działających w płaszczyźnie przekroju wzdłużnego materiału. Zginanie występuje w elementach konstrukcji, którymi najczęściej są [[belka|belki]].▼
[[Plik:Euler-Bernoulli beam theory-2.svg|thumb|Zginanie pręta]]
'''Zginanie''' - w [[wytrzymałość materiałów|wytrzymałości materiałów]] stan deformacji, przy którym prosty w stanie niezdeformowanym pręt, po deformacji jest zakrzywiony - wykazuje różną od zera krzywiznę.
▲
Zginanie
<!--występuje w elementach konstrukcji, którymi najczęściej są -->
jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji którymi są
[[belka|belki]].
Ze względów technicznych, dla materiałów liniowo--sprężystych, rózróżnia się kilka przypadków szczególnych zginania:
#czyste zginanie - naprężenia w przekroju redukują się jedynie do [[moment siły|momentu zginającego]], brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających)
#proste zginanie - naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych
#ściskanie/rozciąganie mimośrodowe - naprężenia redukują się do momentu i siły podłużnej. Siły poprzeczne mogą ale nie muszą wystąpić.
Zginanie jest pokrewne [[rozciąganie (wytrzymałość materiałów)|rozciąganiu]] i [[ściskanie (wytrzymałość materiałów)|ściskaniu]], gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.
Teoria Bernoulliego-Eulera zginania pręta. Założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji.
Maksymalne [[naprężenie]] normalne w przekroju poprzecznym wynosi:▼
Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:
::<math> \epsilon_x = \pm \frac{z}{\rho} </math>
gdzie arbitralność znaku wynika z parametryzacji [[Krzywizna|krzywizny]]
Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:
::<math> \sigma_x = \pm E \frac{z}{\rho} </math>
Obliczając siłę podłużną w przekroju
::<math> N=\int_A \sigma_x dA = \pm E \int_A \frac{z}{\rho} dA= \pm \frac{E}{\rho} \int_A z dA = \pm \frac{E}{\rho} S_x </math>
oraz moment zginający
::<math> M=\int_A z\sigma_x dA = \pm E \int_A \frac{z^2}{\rho} dA =
\pm \frac{E}{\rho} \int_A z^2 dA = \pm \frac{E}{\rho} J_x
</math>
Jeśli wielkości przekrojowe są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to <math> S_x=0</math> oraz <math> N=0</math> (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie
::<math> \frac{EJ_x}{ \rho(x)} = \pm M(x) </math>
Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju
::<math> \sigma_x(z) = \pm \frac{z\cdot M}{J_x} </math>
Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:
::<math> \frac{1}{\rho}\approx \pm w''(x) </math>
otrzymując równanie różniczkowe:
:: <math> EJ_x w''(x) = \pm M(x)</math>
gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.
▲Maksymalne [[naprężenie]] normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla <math> z_{max}</math> i wynosi:
<math>
\sigma_{max} = \frac {
</math>
Gdzie:
:σ<sub>max</sub> - maksymalne [[naprężenie]] normalne
:M<sub>
:W<sub>
Zgodnie z [[wytężenie|hipoteza wytężeniową]] naprężenie musi spełniać warunek:
| |||