Kąt wpisany: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Januszkaja (dyskusja | edycje) przypadek 1 |
Januszkaja (dyskusja | edycje) poprawienie rysunków |
||
Linia 51:
''Jeśli wierzchołek kąta leży na zewnątrz okręgu, a oba jego ramiona mają punkty wspólne z tym okręgiem, to miara tego kąta jest równa połowie różnicy miedzy kątem środkowym opartym na łuku dalszym a kątem środkowym opartym na łuku bliższym.''
[[
'''Dowód.''' Niech oba ramiona kąta <math>\gamma</math> przecinają okrąg o środku ''A'' i promieniu ''r''. Niech jedno ramię przecina okrąg w punktach ''C'' i ''D'', a drugie w punktach ''B'' i ''D'' (jak na rysunku). Niech ''F'' będzie wierzchołkiem tego kąta, <math>\alpha_1 = \ang BAD</math> i <math>\beta_1 = \ang CAE</math> są kątami środkowymi opartymi na łukach ''BD'' i ''CE''. Ponadto kąty <math>\alpha = \ang BCD</math> oraz <math>\beta = \ang CBE</math> są kątami wpisanymi opartymi odpowiednio na łukach BD i CE, czyli <math>\alpha = 0,5 \cdot \alpha_1</math> i <math>\beta = 0,5 \cdot \beta_1</math>. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym wynika, że <math>\beta = \alpha + \gamma</math>, czyli
:<math>\gamma = \beta - \alpha = \frac{1}{2} \cdot (\beta_1 - \alpha_1)</math>,
co kończy dowód w tym przypadku.
W pozostałych przypadkach (kąt o jednym ramieniu stycznym, a drugim siecznym oraz kąt o obu ramionach stycznych do okręgu) dowód jest taki sam. Wykorzystuje twierdzenie o kącie zewnętrznym i łatwo go odtworzyć, posługując się poniższymi rysunkami.
[[Plik:Kat_zewnetrzny_okregu_styczny_1.svg|frame|250px|left|Kąt o jednym ramieniu stycznym, a drugim siecznym do okręgu]][[Plik:Kat_zewnetrzny_okregu_styczny_2.svg|frame|250px|Kąt o obu ramionach stycznych do okręgu]]
'''Twierdzenie 2'''
|