|
gdzie <math>e^{tA}x(0)\,</math> nazywana jest '''składową swobodną''' (zależną od warunków początkowych) a <math>\int_0^t{e^{(t-r)A}Bu(r)dr}</math> '''składową wymuszoną''' (która jest [[Całka splotowa|splotem]] [[Charakterystyka impulsowa|odpowiedzi impulsowej]] i [[wejście-wyjście (automatyka)|wejścia]]).
===Wyprowadzenie wzoru dla układu jednowymiarowego===
Wzór na stan <math>x(t)\,</math> układu jednowymiarowego, opisanego [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)|równaniami stanu]]:
:<math>\frac{dx}{dt}=ax+bu(t)\,</math>
:<math>y=cx\,</math>
gdzie:
:<math>u(t)\,</math> to zadane sterowanie
wyznaczamy w dwóch krokach:
1.Obliczamy rozwiązanie bez części sterującej
:<math>\frac{dx}{dt}=ax</math>
Przekształcamy powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się <math>dx\,</math> oraz <math>x\,</math>, a po drugiej stronie <math>dt\,</math>
:<math>\frac{dx}{x}=adt</math>
Uzyskany wzór całkujemy obustronnie uzyskując
:<math>\ln\frac{x}{S}=at</math> (<math>S\,</math> to stała całkowania)
Na koniec pozbywamy się [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]] używając eksponenty dla obydwu stron równania
:<math>x(t)=Se^{at}\,</math>
2.Uzyskany <math>x(t)\,</math> podstawiamy do równań podanych na wstępie i obliczamy pochodną <math>x\,</math> po czasie.
:<math>\frac{dx}{dt}=ae^{at}S+e^{at}\frac{dS}{dt}=ax+bu(t)</math>
:<math>\frac{dS}{dt}=bu(t)e^{-at}</math>
Przenosimy dt na prawą stronę i całkujemy obustronnie
:<math>S(t)=S_0+\int_0^t{e^{-ra}bu(r)dr}</math>
:<math>x(0)=S_0\,</math>
Na koniec wstawiamy uzyskane <math>S(t)\,</math> do wzoru <math>x(t)=Se^{at}\,</math>.
:<math>x(t)=e^{ta}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)a}bu(r)dr}</math>
==Zobacz też==
| 