Liczby całkowite Eisensteina: Różnice pomiędzy wersjami

[[Grafika:Eisenstein's integer numbers.svg|thumb|300px|Liczby pierwsze Eisensteina mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze GaussaEisensteina zostały wyróżnione kolorem zielonym, a elementy odwracalne kolorem czerwonym.]]'''Liczby całkowite Eisensteina''' (nazywane także '''liczbami Eisensteina-Jacobiego''') – liczby postaci <math>a+bwb\omega</math>, gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są [[liczby całkowite|liczbami całkowitymi]],

:<math>w\omega = \frac{(-1+i\sqrt{3})}{2}=e^{\frac{2}{3}\pi i}</math>,

oraz ''i'' jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]]. <math>w\omega</math> jest pierwiastkiem zespolonym równania <math>z^2+z+1=0</math>. Zarówno [[Dodawanie|suma]], [[Odejmowanie|różnica]] jak i [[Mnożenie|iloczyn]] liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one [[pierścień (matematyka)|pierścień]]. Pierścień ten jest [[Dziedzina Euklidesa|euklidesowy]] z normą <math>N</math> daną wzorem

:<math>N(a+bwb\omega)=a^2-ab+b^2\,</math>.

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest [[Pierścień z jednoznacznością rozkładu|pierścieniem z jednoznacznością rozkładu]]. Liczby pierwsze Eisensteina są [[element całkowity|elementami całkowitymi]] w [[ciało (matematyka)|ciele]] <math>\mathbb{Q}(w)</math>.

: <math>+1,\, -1,\, +w\omega,\, -w\omega,\, +w\omega^2 = -1 + \omega,\, -w\omega^2 = 1 - \omega.</math>