Topologia produktowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Ravpawlisz (dyskusja | edycje) |
Ravpawlisz (dyskusja | edycje) |
||
Linia 11:
Zbiory otwarte w produkcie są sumami (skończonymi lub nieskończonymi) zbiorów postaci <math>\scriptstyle \prod U_i,</math> gdzie <math>\scriptstyle U_i</math> jest zbiorem otwartym w <math>\scriptstyle X_i,</math> przy czym <math>\scriptstyle U_i \ne X_i</math> tylko dla skończenie wielu elementów <math>i \in I.</math>
Topologia produktowa na <math>\scriptstyle X</math> to topologia generowana przez zbiory postaci <math>\scriptstyle p_i^{-1}(U),</math> gdzie <math>\scriptstyle i \in I,</math> zaś <math>\scriptstyle U</math> jest zbiorem otwartym w <math>\scriptstyle X_i.</math> Innymi słowy zbiory postaci <math>\scriptstyle \left\{p_i^{-1}(U)\right\}</math> tworzą [[
[[Baza
W szczególności dla produktu skończonego (a więc przede wszystkim produktu dwóch przestrzeni) produkty elementów bazowych <math>\scriptstyle X_i</math> dają bazę produktu <math>\scriptstyle \prod X_i.</math>
Linia 23:
Wprowadzając topologię produktową na produkcie skończenie wielu kopii przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\scriptstyle \mathbb R</math> (z naturalną topologią) otrzymuje się zwykłą [[przestrzeń euklidesowa|topologię euklidesową]] na <math>\scriptstyle \mathbb R^n.</math>
[[Zbiór Cantora]] jest [[homeomorfizm|homeomorficzny]] z produktem przeliczalnie wielu [[
== Własności ==
Linia 30:
Własność ta pokazuje, że przestrzeń produktowa jest [[produkt (teoria kategorii)|produktem]] w [[kategoria przestrzeni topologicznych|kategorii przestrzeni topologicznych]]. Z powyższej własności uniwersalnej wynika też, że przekształcenie <math>\scriptstyle f\colon Y \to X</math> jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle f_i = p_i \circ f</math> jest ciągłe dla każdego <math>\scriptstyle i \in I.</math> W wielu przypadkach sprawdzenie ciągłości funkcji składowych <math>\scriptstyle f_i</math> bywa łatwiejsze. Zwykle trudniej dowieść ciągłości przekształcenia <math>\scriptstyle g\colon X \to Z;</math> w pewien sposób korzysta się wtedy z ciągłości <math>\scriptstyle p_i.</math>
Ciągłe przekształcenia <math>\scriptstyle p_i\colon X \to X_i</math> są także [[odwzorowania otwarte i domknięte|otwarte]], tzn. rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na <math>\scriptstyle X_i</math> pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeżeli <math>\scriptstyle W</math> jest [[
Topologię produktową nazywa się także ''topologią [[granica funkcji|zbieżności punktowej]]'', co wynika z następującej obserwacji: [[ciąg (matematyka)|ciąg]] (także [[ciąg uogólniony|uogólniony]]) w <math>\scriptstyle X</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są wszystkie jego rzuty na <math>\scriptstyle X_i.</math> W szczególności, jeśli <math>\scriptstyle X = \mathbb R^I</math> wszystkich funkcji o wartościach [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] określonych na <math>\scriptstyle I,</math> to zbieżność w topologii produktowej pokrywa się ze zbieżnością punktową funkcji.
Linia 47:
* Produkt [[przestrzeń regularna|przestrzeni regularnych]] jest regularny.
* Produkt [[przestrzeń Tichonowa|przestrzeni Tichonowa]] jest Tichonowa.
* Produkt [[
; Przeliczalność
* [[Zbiór przeliczalny|Przeliczalny]] produkt przestrzeni spełniających pierwszy bądź drugi [[aksjomaty przeliczalności|aksjomat przeliczalności]] spełnia ten sam aksjomat.
Linia 73:
* [[Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń]]
* [[Topologia ilorazowa|przestrzeń ilorazowa]]
* [[
== Bibliografia ==
| |||