Liczby całkowite Eisensteina: Różnice pomiędzy wersjami

 

oraz ''i'' jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]]. <math>\omega</math> jest pierwiastkiem zespolonym równania <math>z^2+z+1=0</math>. Zarówno [[Dodawanie|suma]], [[Odejmowanie|różnica]] jak i [[Mnożenie|iloczyn]] liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one [[pierścień (matematyka)|pierścień]]. Pierścień ten jest [[Dziedzina Euklidesa|euklidesowy]] z normą <math>N</math> daną wzorem

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest [[Pierścień z jednoznacznością rozkładu|pierścieniem z jednoznacznością rozkładu]].

Na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunku).

 

# zbioru liczb <math>a+b\omega</math>, takich że ''a'' jest liczbą pierwszą, taką że <math>a \equiv 2 \pmod{3}</math> oraz ''b'' = 0,

# zbioru liczb <math>a+b\omega</math>, takich że <math>N(a+b\omega)</math> jest taką liczbą pierwszą ''p'', że <math>p \equiv 1 \pmod{3}</math>.

Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych [[generator grupy|generowaną]] przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt <math>1 \,+\, \omega</math>.

 

 

==Bibliografia==