Liczby całkowite Eisensteina: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Januszkaja (dyskusja | edycje) drobne redakcyjne |
WP:SK, drobne techniczne |
||
Linia 2:
'''Liczby całkowite Eisensteina''' (nazywane także '''liczbami Eisensteina-Jacobiego''') – liczby postaci <math>a+b\omega</math>, gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są [[liczby całkowite|liczbami całkowitymi]],
: <math>\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{\frac{2}{3}\pi i}</math>,
oraz ''i'' jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]]. <math>\omega</math> jest pierwiastkiem zespolonym równania <math>z^2+z+1=0</math><ref>Шнирелман, op. cit., s. 29</ref><ref>Ireland, Rosen, op. cit., s. 29</ref>. Zarówno [[Dodawanie|suma]], [[Odejmowanie|różnica]] jak i [[Mnożenie|iloczyn]] liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one [[pierścień (matematyka)|pierścień]]. Pierścień ten jest [[Dziedzina Euklidesa|euklidesowy]] z normą <math>N</math> daną wzorem
: <math>N(a+b\omega)= |a + b\omega|^2=a^2-ab+b^2\,</math><ref>Ireland, Rosen, op. cit., s. 24</ref>.
W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest [[Pierścień z jednoznacznością rozkładu|pierścieniem z jednoznacznością rozkładu]].
Na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).
Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów:
# zbioru liczb <math>a+b\omega</math>, takich że ''a'' jest liczbą pierwszą, taką że <math>a \equiv 2 \pmod{3}</math> oraz ''b'' = 0,
# zbioru liczb <math>a+b\omega</math>, takich że <math>N(a+b\omega)</math> jest taką liczbą pierwszą ''p'', że <math>p \equiv 1 \pmod{3}</math>.
[[
[[element odwracalny|Grupa elementów odwracalnych]] pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:
Linia 19:
Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako [[Grupa (matematyka)|grupę]] obrotów dokoła początku układu współrzędnych [[generator grupy|generowaną]] przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt <math>1 \,+\, \omega</math>.
== Przykłady ==
# Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące [[liczby naturalne]]: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101.
# Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo <math>3 = - (1 \,+\, 2\omega)^{2}, 7 = (3 \,+\, \omega)(2 \,-\, \omega).</math>
# Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby <math>2 + \omega,\, 3 + \omega,\, 4 + \omega,\, 5 + 2\omega</math>.
[[
{{Przypisy}}
== Bibliografia ==
{{
# {{cytuj książkę|tytuł=The Book of Numbers|autor=John Horton Conway|autor link=John Horton Conway|autor2=Richard K. Guy|wydawca=Springer Verlag|rok=1996|isbn=038797993X, 9780387979939|strony=221-225}}
# {{cytuj książkę | autor =Шнирелман Л. Г. | tytuł =Простые числа |wydawca =ГИТТЛ | miejsce =Москва-Ленинград | rok =1940 | strony=29-36}}
# {{cytuj książkę | autor =Ireland K. | autor2 =Rosen M. | tytuł =A Classical Introduction to Modern Number Theory | wydawca =Springer Verlag | miejsce =New York Heidelberg Berlin | rok =1982 |strony=24-28}}
# {{cytuj książkę | autor =Боревич З. И.| autor2= Шафаревич И. Р. | tytuł =Teopия чисeл |wydawca = Наука | rok =1985 | strony =149-190
{{
== Zobacz też ==
* [[liczby całkowite Gaussa]]
==
* [http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html Eisenstein Integer] MathWorld
|