Pochodna kierunkowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Definicja: drobne redakcyjne |
m długo leżało w kepskim stanie bez poprawy… może ktoś chce odpicować? |
||
Linia 3:
== Definicja ==
Niech dana będzie [[przestrzeń euklidesowa]] <math>\mathbb R^n</math> i leżący w niej [[zbiór otwarty|podzbiór otwarty]] <math>U.</math> Funkcja <math>
: <math>\frac{\partial
gdzie <math>t \in \mathbb R.</math>
Jeżeli <math>
: <math>\frac{\partial
Stąd zachodzi również odpowiednia równość dla [[gradient (matematyka)|gradientu]] oznaczanego dalej symbolem <math>\nabla,</math> która jest źródłem innego oznaczenia pochodnej kierunkowej:
: <math>\nabla
gdzie <math>\cdot</math> oznacza [[iloczyn skalarny]].
Niekiedy zezwala się na branie pochodnej kierunkowej w kierunku niezerowego wektora <math>\mathbf v,</math> który nie jest jednostkowy. Wówczas należy zmodyfikować powyższą definicję, aby odzwierciedlić fakt, iż <math>\mathbf v</math> może nie być znormalizowany; w ten sposób
: <math>\frac{\partial
lub w przypadku, gdy <math>
: <math>\frac{\partial
Taka notacja dla wektorów, które nie są jednostkowe (nieoznaczone dla wektora zerowego) jest jednak niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne [[algebra różniczkowa|algebry różniczkowej]] tworzą [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]].
Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, wśród nich:
: <math>\tfrac{\partial
== Przykład ==
Linia 31:
== Własności ==
Pochodna kierunkowa ma wiele znanych własności zwykłej [[pochodna|pochodnej]]. Wśród nich, dla funkcji <math>
* reguła sumy: <math>\nabla_\mathbf v (
* reguła stałej: dla dowolnej stałej <math>c</math> zachodzi <math>\nabla_\mathbf v (
* [[reguła Leibniza|reguła iloczynu]] (lub Leibniza): <math>\nabla_\mathbf v(
* [[reguła łańcuchowa]]: jeśli <math>
*: <math>\nabla_\mathbf v (
== Związki z innymi pochodnymi ==
=== Przestrzenie
{{main|pochodna cząstkowa}}
Jeśli <math>(\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n)</math> jest [[baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] [[baza standardowa|standardową]] przestrzeni <math>\mathbb R^n,</math> to dla <math>\mathbf u = \mathbf e_i</math> pochodna kierunkowa funkcji <math>
: <math>\frac{\partial
gdzie <math>\mathrm x = (x_1, \dots, x_n).</math>
|