Wikipedia

Przestrzeń funkcyjna: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
KamikazeBot (dyskusja | edycje)
550 479 edycji
→‎Zobacz też: odlinkowanie Skarbnicy Wikipedii i przekierowań do niej
drobne redakcyjne
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Przestrzeń funkcyjna''' – w [[matematyka|matematyce]] [[zbiór]] [[funkcja|funkcji]] zeo zbioruustalonych <math>X</math>dziedzinie wi zbiórprzeciwdziedzinie; <math>Y.</math>zwyczajowo Jestnazywa onsię nazywanygo [[Przestrzeń (matematyka)|przestrzenią]] ze względu na obecność lub możliwość określenia dodatkowych struktur w tym zbiorze, gdyżzwykle określonych w wielunaturalny zastosowaniachsposób jestze onstruktur pochodzących z przeciwdziedziny (zob. [[działanie określone punktowo]]); częstokroć w zbiorze funkcji można określić struktury: [[przestrzeń topologicznametryczna|przestrzeniąmetryczną]], [[przestrzeń topologiczna|topologiczną]], czy [[przestrzeń liniowa|liniową]] ([[przestrzeń liniowo-topologiczna|liniowo-topologiczną]], a[[przestrzeń nawetunormowana|liniowo-metryczną]]), obomaczy jednocześnie[[pierścień (matematyka)|pierścienia]] (zob. [[algebra nad ciałem]]).
 
Sama [[analiza funkcjonalna]] skupiona jest wokół odpowiednich technik, które mogłyby zbliżyć przestrzenie funkcyjne postrzegane jako [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzenie liniowo-topologiczne]] do pojęć stosowanych do opisu [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanych]] skończonego wymiaru.
 
== Wprowadzenie ==
{{seealso|przykłady przestrzeni liniowych}}
Przestrzenią funkcyjną jest zbiór <math>C[a, b]</math> wszystkich [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[odcinek|odcinku]] domkniętym <math>[a, b]</math>.
 
Określając bowiem działania na funkcjach w „naturalny” sposób jako
: <math>\bigl(f + g\bigr)(x) := f(x) + g(x),</math>
: <math>(af)(x) := a f(x)\;</math> dla <math>a \in \mathbb R,</math>
a [[Przestrzeń unormowana|normę]] funkcji jako
: <math>\|f\| := \sup_{x \in [a,b]} \bigl|f(x)\bigr|</math>
otrzymuje się [[przestrzeń unormowana|unormowaną]] [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]]. Okazuje się, że jest ona [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]], dlatego podczas badania tej przestrzeni można korzystać z całego aparatu ogólnej teorii.
 
== Liniowa niezależność ==
{{main|liniowa niezależność}}
Funkcje, traktowane jako [[wektor]]y pewnej przestrzeni funkcyjnej, również mogą być '''liniowo niezależne''': jest to zbiór funkcji <math>f_i</math> takich, że żadnej funkcji nie można przedstawić jako [[kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] innych funkcji z tego zbioru.
 
Przykładem może być układ [[funkcja potęgowa|funkcji potęgowych]] <math>y = x^n,\; n \in \mathbb N</math> określonych dla <math>x \in \mathbb R.</math>
 
== Przykłady ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_funkcyjna”