Skala standaryzowana: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m polskie znaki, lit. |
WP:SK, drobne techniczne |
||
Linia 1:
'''Skala standaryzowana'''
== Skala wyników standaryzowanych ''z'' ==
Porównań pomiędzy wynikami uzyskanymi na skalach pomiarowych o odmiennych właściwościach można jednak zasadnie dokonać, jeżeli uzyskane na nich wyniki (tzw. [[wyniki surowe]]) zostaną przekształcone na wyniki wyrażone na skali o jednostce wspólnej dla obu pierwotnych skal, czyli właśnie na skali standaryzowanej. Przyjmuje się, że punkt zerowy takiej skali odpowiada wartości [[średnia arytmetyczna|średnich]] uzyskanych za pomocą pierwotnych skal pomiarowych, natomiast wartość 1 odchylenia standardowego ze skal pierwotnych przyjmuje się za jednostkę skali standaryzowanej. W ten sposób każdy wynik ze skal pierwotnych zostaje wyrażony w postaci wielkości odchylenia standardowego, o jaką jest oddalony od średniej na skali pierwotnej.
Przykład. W pewnej klasie przeprowadzono dwa [[test]]y wiedzy: z [[matematyka|matematyki]] i [[fizyka|fizyki]]. Możliwe zakresy wyników uzyskanych w obu testach wynosiły od 0 (potencjalny [[wynik minimalny]]) do 100 (potencjalny [[wynik maksymalny]]). Osoba A uzyskała w każdym z tych testów wynik 60. Jeżeli jednak właściwości skal pomiarowych (średnia, odchylenie standardowe) są różne, nie można powiedzieć, że jej wyniki są takie same w obu testach (nie możemy ich bezpośrednio porównać). Aby dokonać takiego porównania, zamieniamy wyniki surowe na wyniki standaryzowane. Załóżmy, że średni wynik w teście z matematyki wyniósł w tej klasie 55, a odchylenie standardowe wynosiło 20. Zatem, wynik 60 uzyskany przez osobę A z matematyki odchyla się w górę od średniej o 5 punktów, czyli o 1/4 odchylenia standardowego. Wynik standaryzowany tej osoby w teście z matematyki wynosi ''z''=+1/4. W teście z fizyki w badanej klasie uzyskano średnią 45 i odchylenie standardowe 15. Wynik 60 uzyskany w tym teście odchyla się zatem w górę od średniej o 15 punktów, czyli o wielkość 1 odchylenia standardowego. Wynik standaryzowany osoby A w teście z fizyki wynosi więc ''z''=+1. Widzimy zatem, że taki sam wynik surowy w teście z matematyki i z fizyki oznacza faktycznie zdecydowanie lepsze wykonanie w teście z fizyki.
▲Porównań pomiędzy wynikami uzyskanymi na skalach pomiarowych o odmiennych właściwościach można jednak zasadnie dokonać, jeżeli uzyskane na nich wyniki (tzw. [[wyniki surowe]]) zostaną przekształcone na wyniki wyrażone na skali o jednostce wspólnej dla obu pierwotnych skal, czyli właśnie na skali standaryzowanej. Przyjmuje się, że punkt zerowy takiej skali odpowiada wartości [[średnia arytmetyczna|średnich]] uzyskanych za pomocą pierwotnych skal pomiarowych, natomiast wartość 1 odchylenia standardowego ze skal pierwotnych przyjmuje się za jednostkę skali standaryzowanej. W ten sposób każdy wynik ze skal pierwotnych zostaje wyrażony w postaci wielkości odchylenia standardowego, o jaką jest oddalony od średniej na skali pierwotnej.
▲Przykład. W pewnej klasie przeprowadzono dwa [[test]]y wiedzy: z [[matematyka|matematyki]] i [[fizyka|fizyki]]. Możliwe zakresy wyników uzyskanych w obu testach wynosiły od 0 (potencjalny [[wynik minimalny]]) do 100 (potencjalny [[wynik maksymalny]]). Osoba A uzyskała w każdym z tych testów wynik 60. Jeżeli jednak właściwości skal pomiarowych (średnia, odchylenie standardowe) są różne, nie można powiedzieć, że jej wyniki są takie same w obu testach (nie możemy ich bezpośrednio porównać). Aby dokonać takiego porównania, zamieniamy wyniki surowe na wyniki standaryzowane. Załóżmy, że średni wynik w teście z matematyki wyniósł w tej klasie 55, a odchylenie standardowe wynosiło 20. Zatem, wynik 60 uzyskany przez osobę A z matematyki odchyla się w górę od średniej o 5 punktów, czyli o 1/4 odchylenia standardowego. Wynik standaryzowany tej osoby w teście z matematyki wynosi ''z''=+1/4. W teście z fizyki w badanej klasie uzyskano średnią 45 i odchylenie standardowe 15. Wynik 60 uzyskany w tym teście odchyla się zatem w górę od średniej o 15 punktów, czyli o wielkość 1 odchylenia standardowego. Wynik standaryzowany osoby A w teście z fizyki wynosi więc ''z''=+1. Widzimy zatem, że taki sam wynik surowy w teście z matematyki i z fizyki oznacza faktycznie zdecydowanie lepsze wykonanie w teście z fizyki.
Formalnie przekształcania dowolnego wyniku surowego na skalę standaryzowaną dokonuje się według następującego wzoru:
: <math>\operatorname{z} = \frac{x-\mu}{\sigma}</math>
gdzie
* <math>x</math> oznacza wynik surowy uzyskany na pierwotnej skali pomiarowej
* <math>\mu</math> oznacza wartość średnią wyników surowych w danej grupie
* <math>\sigma</math> oznacza wartość odchylenia standardowego wyników surowych w danej grupie.
Uzyskane w ten sposób wartości wyników standaryzowanych przyjmują (najczęściej) postać [[ułamek|ułamków]] o wartościach dodatnich lub ujemnych w zależności od tego, czy odchylają się w górę, czy w dół od wartości średniej. Ponieważ posługiwanie się [[ułamek|ułamkami]] i wartościami ujemnymi przy operowaniu wynikami jest często niewygodne, można dokonać prostego liniowego przekształcenia wyników standaryzowanych na skalę o dowolnej wartości średniej i odchylenia standardowego. Dokonuje się tego, mnożąc każdy wynik standaryzowany przez wartość pożądanego odchylenia standardowego i dodając wartość pożądanej średniej.
Przykład. Trzy wyniki standaryzowane ''z'' (obliczone według podanego wyżej wzoru) uzyskane w teście z matematyki przez trzy osoby wynoszą: -1,02, 0,54 i 0,75. Chcemy przekształcić te wyniki na skalę o średniej 100 i odchyleniu standardowym 15. A zatem wartość każdego wyniku ''z'' mnożymy przez 15 i dodajemy 100. W ten sposób uzyskujemy następujące wartości ''Z'' odpowiadające pierwotnym wynikom ''z'': 84,7, 108,1 i 111,25. Wartości te zaokrąglamy do jedności uzyskując ostatecznie wyniki: 85, 108 i 111.
Linia 21 ⟶ 20:
Wzór na przekształcenie wyników standaryzowanych ''z'' na odpowiadające im ''Z'' przedstawia się następująco:
: <math>\operatorname {Z} = M + z*SD </math>
gdzie
* <math>M</math> oznacza pożądaną wartość średnią nowej skali, a
* <math>SD</math> oznacza pożądaną wartość odchylenia standardowego nowej skali.
Przekształcenie wyników surowych na wyniki standaryzowane ''z'' i ''Z'' nie zmienia właściwości pierwotnego [[rozkład]]u wyników surowych, tzn. porangowanie wyników, względne odległości pomiędzy poszczególnymi wynikami, [[skośność]] i [[kurtyczność]] rozkładu pozostają niezmienione.
== Skale standaryzowane znormalizowane ==
Dość często rozkłady empiryczne wyników surowych uzyskanych w danej [[próba|próbie]] odchylają się mniej lub więcej od [[rozkład normalny|rozkładu normalnego]]. Zamiana wyników surowych na wyniki standaryzowane ''z'' nie zmienia kształtu rozkładu, stąd też nie zawsze jest on zbliżony do rozkładu normalnego. Przekształcenie rozkładu empirycznego na rozkład zbliżony do normalnego jest w wielu przypadkach bardzo pożądane, pozwala bowiem w różnych dalszych operacjach dokonywanych na wynikach wykorzystać specyficzne właściwości rozkładu normalnego. Istnieje możliwość "przybliżenia" rozkładu empirycznego wyników surowych do rozkładu normalnego, poprzez ich przekształcenie na skalę standaryzowaną znormalizowaną. Wykorzystuje się do tego fakt, że wyniki standaryzowane ''z'' z rozkładu normalnego odpowiadają ściśle określonemu [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwu]] uzyskania takiego wyniku w [[populacja statystyczna|populacji]]. W praktyce oznacza to, iż ściśle określony procent populacji uzyskuje dany wynik ''z'' z rozkładu normalnego. Na przykład wyniki z przedziału średnia ± 1''z'' (1 odchylenie standardowe) uzyskuje około 68% populacji. Wyniki poniżej wartości ''z''=0 (czyli poniżej średniej) uzyskuje 50% populacji. Właściwości te są prawdziwe tylko i wyłącznie dla rozkładu normalnego.
Linia 40 ⟶ 37:
Do najczęściej stosowanych znormalizowanych skal standardowych należą:
1. Skala [[iloraz inteligencji|ilorazów inteligencji]] [[Wechlser]]a
Wykorzystywana jest powszechnie do przedstawiania wyników badania inteligencji.
2. Skala wyników przeliczonych Wechslera
3. [[Skala stenowa]]
4. [[Skala staninowa]]
5. [[Skala tenowa]]
6. [[Skala tetronowa]]
[[Kategoria:
[[Kategoria:
[[Kategoria:
| |||