Wersja z 14:07, 30 kwi 2012 edytuj KamikazeBot (dyskusja \| edycje) 550 479 edycji →‎Bibliografia: usunięcie szablonów Szablon:bibliografia start i Szablon:bibliografia stop ← poprzednia edycja		Wersja z 00:21, 1 cze 2012 edytuj anuluj edycję Cardel (dyskusja \| edycje) 548 edycji poprawienie kolejności składania, styl, WP:SK następna edycja →
Linia 1: ~~{{Spis treści}}~~ '''Kategoria''' – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu ([[zbiór\|zbiorów]], [[przestrzeń topologiczna\|przestrzeni topologicznych]], [[przestrzeń liniowa\|przestrzeni liniowych]], [[Grupa (matematyka)\|grup]] itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają [[funkcja tożsamościowa\|odwzorowanie tożsamościowe]] i są zamknięte względem kolejnego wykonywania [[złożenie funkcji\|superpozycji]] (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane<ref>Eilenberg, Mac Lane, op. cit.</ref>. == Definicja == Formalnie każda kategoria <math>\mathfrak{K}</math> składa się z dwóch klas<ref>Советская энциклопедия, t. 2, op. cit., s. 761</ref>: * [[klasa (matematyka)\|klasy]] <math>Ob\mathfrak{K}</math>, której elementy nazywamy '''[[obiekt (teoria kategorii)\|obiektami]] kategorii''' <math>\mathfrak{K}</math>, Linia 7: każdej parze uporządkowanej <math>\langle A, B \rangle\;</math> dwóch obiektów ''A'', ''B'' przyporządkowana jest klasa <math>Mor (A, B)\;</math> '''[[morfizm]]ów''' (strzałek) z ''A'' do ''B'' (oznaczanego też czasem <math>H_\mathfrak{K} (A, B)</math>, <math>Hom (A, B)\;</math> lub <math>H (A, B)\;</math>) . Jeżeli <math>f \in Mor (A, B)</math>, to ''A'' nazywamy '''początkiem''' lub '''dziedziną określoności''' morfizmu ''f'', a ''B'' - jego '''końcem'''; czasem zamiast <math> f \in Mor(A, B)</math> piszemy <math>f: A \rightarrow B</math>, każdy morfizm ''f'' należy do tylko jednej klasy <math>Mor (A, B)\;</math>, w klasie <math>Mor\mathfrak{K}</math> określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów <math>f: A \rightarrow B</math>, <math>g: C \rightarrow D</math> jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy ''B'' = ''C'' i należy on wtedy do zbioru <math>Mor (A, D)\;</math>;. ~~nazywamy~~Nazywamy go '''złożeniem morfizmów''' ''f'' i ''g'' ioraz oznaczamy <math>fg \circ gf</math> lub ''fggf''. złożenie morfizmów jest łączne;: jeżeli <math>f: A \rightarrow B</math>, <math>g: B \rightarrow C</math> oraz '<math>h: C \rightarrow D</math> to wówczas <math>fh \circ (g \circ hf) = (fh \circ g) \circ hf</math>, ** do każdego <math>Mor (A, A)\;</math> należy taki morfizm id<sub>''A''</sub>, że dla dowolnych morfizmów '<math>f: X \rightarrow A</math> i <math>g: A \rightarrow Y</math> mamy <math> f = id_A \circ f</math> oraz <math> g = g \circ id_A</math>;. ~~morfizmy~~Morfizmy id<sub>''A''</sub> nazywa się '''morfizmami identycznościowymi''', morfizmami tożsamościowymi lub jednościami. Z [[aksjomat]]ów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy. Jeżeli <math>f \in \operatorname{Mor}(A,B)</math> to piszemy <math>A=\operatorname{dom}(f)</math> i <math>B = \operatorname{cod}(f)</math>. Linia 19: Jeżeli dla każdych obiektów <math>A,B</math> klasa <math>\operatorname{Mor}(A,B)</math> jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy '''lokalnie małą'''. === Przykłady ===▼ ▲=== Przykłady === Każda kategoria jest określana przez jej obiekty i morfizmy pomiędzy nimi. Linia 36 ⟶ 35: == Zobacz też == * {{cytuj stronę \| url =http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/ \| tytuł =Abstract and Concrete Categories \| data dostępu = 2011-08-26\| autor = Jiri Adámek \|autor2 =Horst Herrlich \| autor3 =George E. Strecker \| opublikowany = \| praca = \| data = \| język =en }} * [[teoria kategorii]] Linia 42 ⟶ 41: {{Przypisy}} == Bibliografia == # {{cytuj książkę \| autor = Виноградов И. М. (red.) \| tytuł =Математическая энциклопедия \| wydawca =Советская энциклопедия \| miejsce =Москва \| rok =1979 \| tom =2 \| isbn = }} # {{cytuj pismo \| autor =Eilenberg S. \| autor2 =Mac Lane S. \| autor link = \| tytuł = \| czasopismo =Trans. Amer. Math. Soc. \| wolumin =58 \| strony =231-294 \| data =1945 \| wydawca =Amer. Math. Soc. \| miejsce = \| issn = \| doi = }} # {{cytuj książkę \| autor = Bucur I. \| autor2 = Deleanu A. \| tytuł =Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.) \| wydawca =Мир \| miejsce =Москва \| rok =1972 \| tom = \| isbn = }} # {{cytuj książkę \| autor = Gabriel P. \| autor2 = Zisman M. \| tytuł =Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.) \| wydawca =Мир \| miejsce =Москва \| rok =1971 \| tom = \| isbn = }} [[Kategoria:Teoria kategorii]] Linia 54 ⟶ 53: [[en:Category (mathematics)]] [[ko:범주 (수학)]] [[he:קטגוריה]]▼ [[hy:Կատեգորիա(մաթեմատիկա)]] ▲[[he:קטגוריה]] [[nl:Categorie (wiskunde)]] [[ja:圏 (数学)]]

Kategoria (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami