Kula: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
dupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadupadu |
m Wycofano edycje użytkownika 80.48.156.204 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to MerlIwBot. |
||
Linia 1:
{{disambigR|pojęcia matematycznego|[[kula (ujednoznacznienie)|inne znaczenia słowa kula]]}}
{{definicja|'''Kula''' to zbiór [[punkt (geometria)|punktów]] oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (''promień kuli'') od wybranego punktu (''środek kuli'')}}
'''Kula''' w danej [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] <math>(X,\rho)\,</math> jest [[zbiór|zbiorem]] elementów tej przestrzeni, zdefiniowanym jako
: <math>
\bar{K} _{\bar{o},r} = \{ \bar{p}: \rho(\bar{p},\bar{o}) \leqslant r \}
</math>
dla pewnych <math>\bar{o}\in X,\ r>0,\,</math> które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.
== Informacja ogólna ==
[[Plik:Ball with d r and o marked.svg|right|thumb|Kula w przestrzeni euklidesowej]]
Intuicyjnie rozumiana kula – w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej]] dla [[metryka euklidesowa|metryki euklidesowej]] – jest to część przestrzeni, ograniczona [[sfera|sferą]] (sfera jest powierzchnią ([[Brzeg (matematyka)|brzegiem]]) kuli i również się w niej zawiera).
Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których [[układ współrzędnych|współrzędne]] <math>(x,y,z)</math> spełniają nierówność:
: <math>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\leqslant r^2,</math>
gdzie <math>(x_0,y_0,z_0)</math> są współrzędnymi '''środka kuli''', a <math>r\,</math> oznacza jej promień.
W <math>n\,</math>-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie <math>(s_1, s_2, \ldots, s_n)</math> i promieniu <math>r\,</math> to zbiór punktów <math>x=(x_1, x_2, \ldots, x_n),</math> których współrzędne spełniają nierówność:
: <math>(x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\ldots+(x_n-s_n)^2\leqslant r^2.</math>
Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest [[koło (geometria)|koło]], zaś w jednowymiarowej – [[odcinek]].
[[Plik:Ball taxi metric.svg|thumb|250px|Kula o środku P(2; 1,5) i promieniu r=1 w [[metryka miejska|metryce miejskiej]] na zbiorze <math>\Bbb{R}^2</math>.]]
Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni <math>\Bbb{R}^2</math> o [[metryka miejska|metryce miejskiej]] do kuli należą punkty, spełniające nierówność:
: <math>\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right| \leqslant r.</math>
Natomiast w przestrzeni liter [[alfabet łaciński|alfabetu łacińskiego]], gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór {G, H, I} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H.
== Związane pojęcia ==
'''Cięciwa kuli''' to [[odcinek]] o końcach na brzegu kuli.
'''Średnica kuli''' to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie [[zbiór|zbiory]] w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] - zobacz [[średnica#Średnica zbioru|Średnica zbioru]].
'''[[Koło wielkie]]''' kuli to [[koło (geometria)|koło]] o promieniu tej kuli, o środku w jej środku.
== Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej ==
* [[Objętość (matematyka)|Objętość]] ''n''-wymiarowej kuli ([[hiperkula|hiperkuli]]) o promieniu ''r'' dana jest wzorem <math>V_{n}=\frac { \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}\cdot r^{n} =
\begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot r^n & \mbox{dla }n=2k, \\[2ex]
\displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over n!!}\cdot r^n & \mbox{dla } n=2k-1,
\end{cases}</math>
* "Pole" (''n''−1)-wymiarowe jej (hiper)powierzchni <math>S_n = \frac n r \, V_n.</math>
* [[Objętość (matematyka)|Objętość]] 3-wymiarowej kuli: <math>V=\frac{4}{3}\pi r^3 \approx 4{,}19\ r^3.</math>
* [[Pole powierzchni]] 3-wymiarowej kuli: <math>S=4\pi r^2 \approx 12{,}6\ r^2.</math>
W powyższych wzorach <math>\pi \approx 3{,}14159265</math> jest jedną z najsłynniejszych [[Lista stałych matematycznych|stałych matematycznych]], szerzej opisaną w artykule [[Pi]], zaś <math>\Gamma\,</math> oznacza [[funkcja Γ|funkcję gamma]].
'''Uwaga:''' Brzegiem ''n''-wymiarowej kuli jest (''n''−1)-wymiarowa [[sfera]].
== Uogólnienie topologiczne ==
W [[topologia|topologii]] kulę definiujemy jako [[rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], [[homeomorfizm|homeomorficzną]] z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.
== Zobacz też ==
{{wikisłownik|kula}}
* [[Sfera]]
* [[Hiperkula]]
* [[Czasza kuli]] (odcinek kuli)
* [[Warstwa kulista]]
* [[Wycinek kuli]]
* [[Ziemia|Kula ziemska]]
[[Kategoria:Bryły]]
[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:Geometria metryczna]]
| |||