Ortogonalizacja Grama-Schmidta: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Proces ortogonalizacji: dodany dowód |
|||
Linia 22:
Aby zbudować w ten sposób zbiór [[Funkcje ortonormalne|ortonormalny]], każdy wektor należy podzielić przez jego [[Przestrzeń unormowana#Przestrzenie unitarne|normę]]:
:<math>\mathbf{e}_n = {\mathbf{u}_n\over||\mathbf{u}_n||}, n=1, 2, ..., k</math>
Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na [[indukcja matematyczna|indukcji]].▼
Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni unitarnej.
Własności numeryczne tego algorytmu nie są zbyt dobre i uzyskane wektory nadal nie są ortogonalne (za sprawą błędów zaokrągleń), toteż w praktyce powtarza się proces dokonując reortogonalizacji.
===Dowód ortogonalności otrzymanej bazy===
Załóżmy, że <math>\mathbf{u}_{1},\dots, \mathbf{u}_{k}</math> jest bazą ortogonalną uzyskaną w procesie ortogonalizacji Grama-Schmidta z bazy <math>\mathbf{v}_{1}\dots \mathbf{v}_{k}</math>. Załóżmy, że wektory <math>\mathbf{u}_{1},\dots, \mathbf{u}_{k-1}</math> są wzajmenie prostopadłe, co oznacza, że <math>\langle \mathbf{u}_{s}, \mathbf{u}_{t} \rangle = 0 </math> dla wszystkich <math>t,s\in \{1\dots k-1\},~t\neq s</math>.
Pokażemy, że wektor <math>\mathbf{u}_k</math> otrzymany z algorytmu ortogonalizacji Grama-Schmidta jest prostopadły z dowolnym wektorem <math>\mathbf{u}_l</math>, gdzie <math> l \in \{1,\dots, k-1\} </math>.
<math>
\mathbf{u}_l = \mathbf{v}_l - \frac{\langle \mathbf{v}_{l}, \mathbf{u}_{1} \rangle}{\langle \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{1} \rangle} \mathbf{u}_1 - \dots - \frac{\langle \mathbf{v}_{l}, \mathbf{u}_{l-1} \rangle}{\langle \mathbf{u}_{l-1}, \mathbf{u}_{l-1} \rangle}\mathbf{u}_{l-1}</math>
<math>
\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \frac{\langle \mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{1} \rangle}{\langle \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{1} \rangle} \mathbf{u}_1 - \dots - \frac{\langle \mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{l-1} \rangle}{\langle \mathbf{u}_{l-1}, \mathbf{u}_{l-1} \rangle}\mathbf{u}_{l-1}- \frac{\langle \mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{l} \rangle}{\langle \mathbf{u}_{l}, \mathbf{u}_{l} \rangle}\mathbf{u}_{l} - \dots - \frac{\langle \mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{k-1} \rangle}{\langle \mathbf{u}_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1} \rangle}\mathbf{u}_{k-1}
</math>
Mnożąc skalarnie <math>\mathbf{u}_l</math> i <math>\mathbf{u}_k</math> otrzymujemy:
<math>\langle \mathbf{u}_l, \mathbf{u}_k \rangle =
\left\langle \mathbf{u}_l, \left(\mathbf{v}_k -
\sum\limits_{j=1}^{l-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j \rangle}\mathbf{u}_j - \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle}{\langle \mathbf{u}_l, \mathbf{u}_l \rangle}\mathbf{u}_l -
\sum\limits_{i=l+1}^{k-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_i \rangle}{\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle}\mathbf{u}_i\right)\right\rangle=</math>
Korzystając z [[Iloczyn_skalarny#Definicja_i_w.C5.82asno.C5.9Bci|własności iloczynu skalarnego]] (rozdzielności iloczynu względem sumy, przemienności i zgodności z mnożeniem przez skalar):
<math>=
\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle -
\left\langle \mathbf{u}_l,\sum\limits_{j=1}^{l-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j \rangle}\mathbf{u}_j \right \rangle -
\frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle}{\langle \mathbf{u}_l, \mathbf{u}_l \rangle} \langle\mathbf{u}_l, \mathbf{u}_l \rangle -
\left\langle \mathbf{u}_l,
\sum\limits_{i=l+1}^{k-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_i \rangle}{\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle}\mathbf{u}_i \right\rangle
</math>
<math>=
\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle -
\sum\limits_{j=1}^{l-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j \rangle}\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_l \rangle -
\frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle}{\langle \mathbf{u}_l, \mathbf{u}_l \rangle} \langle\mathbf{u}_l, \mathbf{u}_l \rangle -
\sum\limits_{i=l+1}^{k-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_i \rangle}{\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle}\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_l\rangle =
</math>
Na mocy założenia indukcyjnego:
<math>=
\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle -
0 -
\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle -
0 = 0
</math>, co oznacza, że wektor <math>\mathbf{u}_k</math> jest prostopadły z każdym innym wektorem <math>\mathbf{u}_{1},\dots, \mathbf{u}_{k-1}</math>
===Przykład===
| |||