Wikipedia

Równanie różniczkowe cząstkowe: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
YFdyh-bot (dyskusja | edycje)
73 056 edycji
m r2.7.3) (Robot dodał eo:Parta diferenciala ekvacio
poprawa linków do ujedn. i przek., WP:SK, usunięcie nadmiarowych linków do dat
Linia 1:
'''Równanie różniczkowe cząstkowe''' to [[równanie]], w którym występuje [[niewiadoma]] [[Funkcja (matematyka)|funkcja]] dwóch lub więcej [[zmienna (matematyka)|zmiennych]] oraz niektóre z jej [[Pochodna cząstkowa|pochodnych cząstkowych]].
 
== Podstawowa definicja ==
Linia 12:
gdzie <math>\alpha\,</math> jest n-wymiarowym [[notacja wielowskaźnikowa|wielowskaźnikiem]].
 
== Historia ==
Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów [[Drgania|drgań]] rozmaitych środowisk, między innymi drgań [[Struna|strun]], prętów, [[MembranaPrzepona (budowa maszyn)|membran]], jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu [[Akustyka|akustyki]] i [[Hydromechanika|hydromechaniki]]. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie [[XVIII]] wieku przez [[Jean Lele Rond d'Alembert|J. D’Alamberta]]. Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury – typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. [[Leonhard Euler|L. Euler]] ([[1707]]–[[1783]]1707–1783) sprecyzował warunki określajace jednoznaczność rozwiązania tego [[Równanie falowe|równania]], tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej, kierując się sugestiami natury fizycznej, [[Daniel Bernoulli|D. Bernulli]] przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci [[Szereg trygonometryczny|szeregu trygonometrycznego]]. Metodę tę rozwinął [[Jean Baptiste Joseph Fourier|J. Fourier]] ([[1750]]-[[1830]]) tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych.
[[Augustin Louis Cauchy|A.L. Cauchy]] sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane
dzisiaj [[Zagadnienie Cauchy'ego|zagadnieniem Cauchy’ego]].
[[Pierre Simon de Laplace|P. Laplace]] zauważył, że [[Potencjał|potencjał]] siły wzajemnego przyciągania dwóch
mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę [[Równanie różniczkowe Laplace'a|równania Laplace’a]]. [[Siméon Denis Poisson|S.D. Poisson]] rozwinął teorię zjawisk [[Grawitacja|przyciągania grawitacyjnego]], w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś [[Równanie różniczkowe Poissona|równaniem Poissona]]. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i [[Grawimetria|grawimetrii]] doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę ''równań eliptycznych''.
W początkach [[XIX]] wieku [[George Green|G. Green]] stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając [[Oddziaływanie elektromagnetyczne|teorię elektryczności]] i [[Magnetyzm|magnetyzmumagnetyzm]]u.
Badania zjawiska [[Przewodność cieplna|przewodnictwa cieplnego]] oraz [[Dyfuzja|dyfuzji]] gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań, które nazywamy dzisiaj ''równaniami parabolicznymi''.
 
Na przełomie [[XIX]] i [[XX]] wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak [[Bernhard Riemann|B. Riemann]], [[Henri Poincaré|H. Poincare]], [[Charles Émile Picard|E. Picard]] , [[Jacques Salomon Hadamard|J. Hadamard]], [[Édouard Goursat|E. Goursat]].
Z polskich matematyków wymienić należy [[Witold Pogorzelski|W. Pogorzelskiego]] oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym - [[Mirosław Krzyżański|M. Krzyżańskiego]].
Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień [[fizyka|fizyki]] i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie
opisywały.
 
Wiek [[XX]] przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem
nowych działów [[matematyka|matematyki]], zwłaszcza [[Analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]].
== Przykłady ==
Linia 53:
# Równanie [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]-Jacobiego: <math>u_t + H(Du,x) = 0\,</math>
# Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: <math>u_t - \Delta u = f(u)\,</math>
 
== Zobacz też ==
* [[Równanie różniczkowe zwyczajne]]
Linia 59 ⟶ 60:
* Strzelecki P.: ''Krótkie Wprowadzenie do Równań Różniczkowych Cząstkowych'', Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2006.
* Lawrence C. Evans: ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, 2010.
 
[[Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe| ]]
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Równanie_różniczkowe_cząstkowe”