Grupę <math>G</math> nazywa się '''iloczynem półprostym wewnętrznym''' podgrup <math>N</math> i <math>D</math>, co oznacza <math>N \rtimes D</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>D</math> jest dopełnieniem normalnym <math>N</math>.
SwojąJeżeli nazwęgrupa iloczyn<math>G</math> tenjest zawdzięczailoczynem faktowi,półprostym iżwewnętrznym wswoich iloczynie półprostym homomorfizmpodgrup <math>\varphiN</math> jest postacii <math>D \to \operatorname{Inn}\; N</math>, ato więcjest wona grupęizomorficzna [[Automorfizm#Automorfizmyz wewnętrzne|automorfizmówiloczynem wewnętrznych]]półprostym grupyzewnętrznym <math>N \rtimes_\varphi D</math>;innymiza słowy:pośrednictwem zachodzihomomorfizmu <math>N \rtimes_\varphi:D\to =\operatorname{Aut} N G</math> dlaokreślonego jako <math>\varphi_d(n) = dnd^{-1}</math>, czyli [[Grupa (matematyka)|sprzężeniasprzężenie]] <math>n</math> przez <math>d</math>. Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny <math>N \rtimes_\varphi D</math> jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup <math>N\times\{1\}</math> oraz <math>\{e\}\times D</math>, przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.
