Równania Eulera-Lagrange’a: Różnice pomiędzy wersjami

 

=== Brachistochrona ===

Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości <math>mg</math> jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange'a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej <math>y(x)</math>, żeby czas <math>t</math> był minimalny.

: <math>t = \int\limits_A^B \frac{ds}{v} </math>

 

=== Krzywa łańcuchowa ===

Równanie Eulera-Lagrange'a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową<ref>http://math.arizona.edu/~flaschka/Topmatter/527files/termpapers/smallwood.pdf</ref>, która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym <math>g</math>. Układ mechaniczny jest w [[Równowaga (mechanika)|równowadze]], gdy jego [[energia potencjalna]] jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

: <math>E_{pot} = \int\limits_A^B \rho g y(x) ds</math>