Wikipedia

Iloczyny tensorowe C*-algebr: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
żródła
drobne redakcyjne
Linia 1:
'''Iloczyny tensorowe C*-algebr''' – dla pary [[C*-algebra|C*-algebr]] ''A'' i ''B'', C*-algebry będące [[przestrzeń Banacha|uzupłenieniami]] [[C*-algebra|C*-norm]] na (algebraicznym) [[iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych|iloczynie tensorowym]] ''A'' ⊗⊙ ''B'', uzależnionych od norm w ''A'' i ''B''. W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na ''A'' ⊗⊙ ''B'' jest [[norma krzyżowa|normą krzyżową]]<ref>B. J. Vowden, [http://jlms.oxfordjournals.org/content/s2-7/4/595.full.pdf C*-Norms and tensor products of C*-algebras], ''J. London Math. Soc.'' ('''2'''), 7(1974), 595-596.</ref>, tj. spełnia warunek
:<math>\|a\otimes b\|=\|a\|\cdot\|b\|\;\;\;(a\in A, b\in B)</math>.
Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach pięćdziesiątych XX w.<ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245371 On the direct product of operator algebras, I], ''Tohoku Math. J.'', '''4''' (1952), 242-151.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245343 On the direct-product of operator algebras, II]. ''Tohoku Math. J.'' '''5''' (1953), 1-7.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245181 On the direct-product of operator algebras, III]. ''Tohoku Math. J.'' '''6''' (1954), 208-211.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178244952 On the direct product of operator algebras, IV]. ''Tohoku Math. J.'' '''8''' (1956), 281-285.</ref>.
 
== Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr ==
Niech ''A'' i ''B'' będą C*-algebrami oraz niech ''π''<sub>1</sub>: ''A'' → ''B''(''H''<sub>1</sub>), ''π''<sub>2</sub>: ''B'' → ''B''(''H''<sub>2</sub>) będą, odpowiednio, ich reprezentacjami na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeniach Hilberta]] ''H''<sub>1</sub> i ''H''<sub>2</sub>. Wzór
:<math>(\pi_1\otimes\pi_2)(a\otimes b) = \pi_1(a)\otimes \pi_2(b)\;\;\;(a\in A, b\in B)</math>
definiuje reprezentację ''π''<sub>1</sub> ⊗ ''π''<sub>2</sub> [[*-pierścień|*-algebry]] ''A'' ⊗⊙ ''B'' na [[iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta|iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta]] ''H''<sub>1</sub> ⊗ ''H''<sub>2</sub>.
 
''Minimalnym iloczynem tensorowym'' pary C*-algebr ''A'' i ''B'' nazywane jest uzupełnienie normy || · ||<sub>min</sub> na ''A'' ⊗ ''B'' danej wzorem
Linia 19:
== Nuklearne C*-algebry ==
{{main|nuklearna C*-algebra}}
Nazwy ''minimalny'' i ''maksymalny'' iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu - jeżeli || · ||<sub>*</sub> jest jakąkolwiek C*-normą na ''A'' ⊗⊙ ''B'', to
:<math>\|\cdot\|_{\rm min}\leqslant \|\cdot\|_*\leqslant \|\cdot\|_{\rm max}</math>.
C*-algebra ''A'' nazywana jest ''[[nuklearna C*-algebra|nuklearną]]'', gdy dla każdej innej C*-algebry ''B'' normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w ''A'' ⊗ ''B'' są równe, tj.
:<math>\|x\|_{\rm min} = \|x\|_{\rm max}\;\;\;(x\in A\otimesodot B)</math>.
W przypadku tensorowania C*-algebry ''A'' z nuklearną C*-algebrą ''B'' symbolem ''A'' ⊗ ''B'' oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyny_tensorowe_C*-algebr”