Warstwa graniczna (mechanika płynów): Różnice pomiędzy wersjami

▲{{definicja|'''Warstwa graniczna jest to obszar w płynie w pobliżu sztywnych ścianek, w którym lepkość płynu oraz kształt ścianek wpływają decydująco na obraz przepływu.'''}}

▲== Idea warstwy granicznej ==

▲Warstwa graniczna stanowi zazwyczaj cienką warstewkę tuż przy ścianie (np. opływanej bryły), stąd też w starszej polskiej literaturze określano ją terminem '''warstwa przyścienna'''. Płyn poruszający się poza warstwą graniczną, tj. zajmujący pozostałą część objętości, określany jest często jako ''rdzeń''. W teorii warstwy granicznej rdzeń traktuje się jako [[płyn idealny]], gdyż obraz jego przepływu różni się od obrazu przepływu płynu idealnego w tak niewielkim stopniu, że różnice te mogą być pominięte. Podejście takie uprościło znacznie matematyczne rozważania nad przepływami oraz ułatwiło prowadzenie obliczeń dla oddziaływań płynu na ciała w nim zanurzone.

▲Koncepcja warstwy granicznej sformułowana została przez [[Ludwig Prandtl|Ludwika Prandtla]] na początku [[XX wiek]]u i przedstawiona publicznie [[12 sierpnia]] [[1904]] roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w [[Heidelberg]]u.

▲== Laminarna warstwa graniczna ==

▲Sformułowana przez Prandtla koncepcja dotyczyła warstwy granicznej w warunkach [[przepływ stacjonarny|przepływu stacjonarnego]]. Uzyskał on równania opisujące ruch płynu w laminarnej warstwie granicznej (tzw. [[równania Prandtla]]) otrzymane jako uproszczenie [[Równanie Naviera-Stokesa|równania Naviera-Stokesa]] stanowiącego fundamentalne równanie ruchu płynu lepkiego.

▲=== Równania Prandtla ===

▲Przyjmując oś <math>\; x \,</math> prostokątnego układu współrzędnych równoległą do sztywnej ścianki ciała stałego, składową <math>\; x</math>-ową prędkości <math>\; u \,</math> równoległą do ścianki i zgodną z kierunkiem przepływu zasadniczego, natomiast oś <math>\, y \,</math> układu prostokątnego i <math>\; y</math>-ową składową prędkości <math>\; v \,</math> prostopadłe do ścianki, równania Prandtla przyjmują postać:

▲:<math> \varrho \left( u \, \frac{\partial u}{\partial x} + v \, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \; = \; - \, \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \qquad (2) </math>

▲gdzie <math>\; p \,</math> jest ciśnieniem płynu, <math>\; \varrho \,</math> jest jego gęstością, a <math>\; \mu \,</math> - jego lepkością.

▲Ponadto, jeśli płyn jest nieściśliwy, wówczas:

▲:<math> \frac{\partial p}{\partial y} \; = \; 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad (3)</math>

▲Ostatnie z powyższych równań oznacza, że ciśnienie płynu przyjmować można jako stałe w poprzek warstwy granicznej. Ponieważ ciśnienie nie zmienia się w kierunku prostopadłym do warstwy granicznej, jest ono zatem równe ciśnieniu w otoczeniu warstwy granicznej. Wyrażając ciśnienie w rdzeniu przy pomocy prędkości napływającego strumienia płynu <math>\; U \,</math> w oparciu o [[równanie Bernoulliego]] obowiązujące dla płynów idealnych, otrzymamy ostatecznie:

▲:<math> u \, \frac{\partial u}{\partial x} + v \, \frac{\partial u}{\partial y} \; = \; U \, \frac{d U}{d x} + \frac{\mu}{\varrho} \, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \qquad \qquad (4) </math>

▲Układ równań różniczkowych cząstkowych (1), (4) stanowi ostateczną postać równań Prandtla dla stacjonarnej, laminarnej warstwy granicznej.

▲Pomimo zastosowanych uproszczeń, równania Pandtla rozwiązać można jedynie w niezbyt licznych szczególnych przypadkach, w postaci tzw. [[Rozwiązania samopodobne|rozwiązań samopodobnych]]. Przykładem jest klasyczne rozwiązanie Blasiusa, mające postać regularną i opisujące tzw. [[Laminarna warstwa graniczna Blasiusa|laminarną warstwę graniczną Blasiusa]]. W bardziej skomplikowanych przypadkach rozwiązania równań Prandtla mają w niektórych sytuacjach postać osobliwą, co odpowiada zjawisku [[Oderwanie warstwy granicznej|oderwania warstwy granicznej]].

▲Oderwania warstwy granicznej nie należy mylić z powstawaniem [[Turbulencja|turbulencji]]. Oprócz laminarnej warstwy granicznej, będącej przedmiotem rozważań Prandtla i jego następców, spotyka się również turbulentną warstwę graniczną.

▲Korzystając z [[Równania Reynoldsa|równań Reynoldsa]], stanowiących odpowiednik równania Naviera-Stokesa dla przepływów turbulentnych, uzyskać można [[równania Prandtla]] dla turbulentnej warstwy granicznej. Równania te zawierają uśrednione składowe prędkości przepływu oraz uśrednione ciśnienie, a ponadto średnią wartość z iloczynu fluktuacji składowych prędkości w kierunkach równoległym i prostopadłym do sztywnej ścianki. Ta ostatnia wielkość nie jest nigdy dana a priori i określa się ją w oparciu o jeden z alternatywnych modeli turbulencji przy pomocy uśrednionych składowych prędkości oraz ich pochodnych przestrzennych.

▲Turbulizacja warstwy granicznej następuje w wyniku utraty jej stateczności. Jako kryterium stateczności stosuje się zazwyczaj [[Liczba Reynoldsa|liczbę Reynoldsa]] ''Re'', przy czym za wymiar charakterystyczny przyjmuje się [[grubość warstwy granicznej]]. Często turbulizacja warstwy granicznej jest wynikiem zwiększania jej grubości w kierunku przepływu zasadniczego, co powoduje przekroczenie krytycznej wartości ''Re''.

▲== Zastosowania teorii warstwy granicznej ==

▲Zjawiska zachodzące w warstwie granicznej wpływają decydująco na wielkość hydrodynamicznego oporu ruchu zanurzonych brył (np. karoserii samochodowych, okrętów podwodnych, etc.), a także na powstawanie siły nośnej na skrzydłach ptaków oraz samolotów. Dlatego też analiza zjawisk zachodzących w warstwie granicznej posiada fundamentalne znaczenie dla współczesnej techniki.

▲Zaproponowane przez Prandtla (1904) rozróżnienie przepływu [[płyn]]u na dwa regiony - cienką warstwę tuż przy ścianie (np. rury) oraz pozostałą część objętości płynu (rdzeń) uprościło matematyczne rozważania nad przepływami oraz ułatwiło prowadzenie obliczeń dla oddziaływań płynu na ciała w nim zanurzone. Charakter przepływu w tej warstwie może być laminarny lub burzliwy (w tym przypadku rozróżnia się dwie podwarstwy: burzliwą oraz lepką). Przykładowa grubość warstewki przyściennej może wynosić, dla w pełni rozwiniętego przepływu burzliwego wody w rurze, od setnych części do kilku milimetrów. Grubość tej warstwy spada wraz ze wzrostem liczby Re.

▲==Zobacz też==

▲*[[Warstwa dobrze wymieszana]]

▲*[[Planetarna warstwa graniczna]]

▲* L. Howarth: ''Laminar Boundary Layer'', in ''Handbuch der Physik'', herausgegeben von S. Flügge mit C. Truesdel, Bd. VIII/1 ''Strömungsmechanik I'', Springer, Berlin - Göttingen - Heidelberg, (1959).

▲* H. Schlichting: ''Grenzschicht-Theorie'', Braun, Karlsruhe, (1965).