Iloczyny tensorowe C*-algebr: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m WP:SK, poprawa linków |
|||
Linia 1:
'''Iloczyny tensorowe C*-algebr''' – dla pary [[C*-algebra|C*-algebr]] ''A'' i ''B'', C*-algebry będące [[przestrzeń Banacha|uzupłenieniami]] [[C*-algebra|C*-norm]] na (algebraicznym) [[Iloczyn tensorowy modułów#Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych|iloczynie tensorowym]] ''A'' ⊙ ''B'', uzależnionych od norm w ''A'' i ''B''. W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na ''A'' ⊙ ''B'' jest [[norma krzyżowa|normą krzyżową]]<ref>B. J. Vowden, [http://jlms.oxfordjournals.org/content/s2-7/4/595.full.pdf C*-Norms and tensor products of C*-algebras], ''J. London Math. Soc.'' ('''2'''), 7(1974), 595-596.</ref>, tj. spełnia warunek
: <math>\|a\otimes b\|=\|a\|\cdot\|b\|\;\;\;(a\in A, b\in B)</math>.
Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach pięćdziesiątych XX w.<ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245371 On the direct product of operator algebras, I], ''Tohoku Math. J.'', '''4''' (1952), 242-151.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245343 On the direct-product of operator algebras, II]. ''Tohoku Math. J.'' '''5''' (1953), 1-7.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178245181 On the direct-product of operator algebras, III]. ''Tohoku Math. J.'' '''6''' (1954), 208-211.</ref><ref>T. Turumaru, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178244952 On the direct product of operator algebras, IV]. ''Tohoku Math. J.'' '''8''' (1956), 281-285.</ref>
== Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr ==
Linia 8:
definiuje reprezentację ''π''<sub>1</sub> ⊗ ''π''<sub>2</sub> [[*-pierścień|*-algebry]] ''A'' ⊙ ''B'' na [[iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta|iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta]] ''H''<sub>1</sub> ⊗ ''H''<sub>2</sub>.
''Minimalnym iloczynem tensorowym'' pary C*-algebr ''A'' i ''B'' nazywane jest uzupełnienie normy || · || <sub>min</sub> na ''A'' ⊗ ''B'' danej wzorem
: <math>\Big\|\sum_{k=1}^n a_k\otimes b_k\Big\|_{\rm min} = \sup_{\pi_1, \pi_2}\Big\|\sum_{k=1}^n \pi_1(a_k)\otimes \pi_2(b_k) \Big\|\;\;\;\;\;(a_k\in A, b_k\in B, k\leqslant n, n\in \mathbb{N}),</math>
gdzie [[Kresy dolny i górny|supremum]] przebiega po wszystkich reprezentacjach ''π''<sub>1</sub>, ''π''<sub>2</sub>, odpowiednio, algebr ''A'' i ''B''. Minimalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem ''A'' ⊗<sub>min</sub> ''B''.
== Maksymalny iloczyn tensorowy C*-algebr ==
''Maksymalnym iloczynem tensorowym'' pary C*-algebr ''A'' i ''B'' nazywane jest uzupełnienie normy || · || <sub>max</sub> na ''A'' ⊗ ''B'' danej wzorem
: <math>\Big\|\sum_{k=1}^n a_k\otimes b_k\Big\|_{\rm max} = \sup_{\pi}\Big\|\pi\big(\sum_{k=1}^n a_k\otimes b_k\big) \Big\|\;\;\;\;\;(a_k\in A, b_k\in B, k\leqslant n, n\in \mathbb{N}),</math>
gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach ''π'' (na przestrzeni Hilberta) *-algebry ''A'' ⊗ ''B''. Maksymalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem ''A'' ⊗<sub>max</sub> ''B''.
== Nuklearne C*-algebry ==
{{
Nazwy ''minimalny'' i ''maksymalny'' iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu
: <math>\|\cdot\|_{\rm min}\leqslant \|\cdot\|_*\leqslant \|\cdot\|_{\rm max}</math>.
C*-algebra ''A'' nazywana jest ''[[C*-algebra nuklearna|nuklearną]]'', gdy dla każdej innej C*-algebry ''B'' normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w ''A'' ⊗ ''B'' są równe, tj.
Linia 25:
W przypadku tensorowania C*-algebry ''A'' z nuklearną C*-algebrą ''B'' symbolem ''A'' ⊗ ''B'' oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.
{{
== Bibliografia ==
| |||