Równanie kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 1474 bajty ,  7 lat temu
m
Wycofano edycje użytkownika 81.95.197.74 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Martaczc.
(Poprawiłem błędy w kodzie obrazków.)
m (Wycofano edycje użytkownika 81.95.197.74 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Martaczc.)
: <math>\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2},</math>
gdzie <math>i</math> jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]], a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa [[sprzężenie zespolone|sprzężone]] ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi <math>\tfrac{-b}{2a}.</math> Jeżeli <math>\Delta > 0,</math> to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem <math>\tfrac{-b}{2a}.</math> Przypadki dla <math>\Delta \ne 0</math> można podsumować zdaniem: [[średnia arytmetyczna]] pierwiastków wynosi <math>\tfrac{-b}{2a}</math> (por. [[#Wzory Viète'a|wzory Viète'a]]).
 
[[Plik:Quadratic equation discriminant.png|thumb|Przykłady różnych znaków wyróżnika:<br
/><span style="color:#FFE600">■</span> &lt;0: ''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><br
/><span style="color:#bc1e47">■</span> =0: −<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''−<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub><br
/><span style="color:#0081cd">■</span> &gt;0: <sup>3</sup>⁄<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''x''−<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>]]
 
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]], o ile <math>\Delta \geqslant 0.</math> Dokładniej, jeśli:
Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi [[Ciało Zp|ciałami]] <math>\mathbb Z_p,</math> gdzie <math>p</math> jest pewną [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]] większą od 2.
 
; Przykłady
;
* Równanie
:: <math>-2x^2 + 3x - 1 = 0\,</math>
: ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
:: <math>3^2 - 4(-2)(-1) = 1 > 0.\,</math>
: Są nimi <math>x_1 = \tfrac{1}{2}</math> oraz <math>x_2 = 1.</math>
* Równanie
:: <math>x^2 + 2x = -4\,</math>
: po uporządkowaniu ma postać
:: <math>x^2 + 2x + 4 = 0.\,</math>
: Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
:: <math>\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0,\,</math>
: jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ <math>\Delta = -12 = 12i^2,</math> to rozwiązania mają postać
:: <math>x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt 3i.\,</math>
* Równanie
:: <math>4x^2 + 4x + 1 = 0\,</math>
: ma jedno rozwiązanie <math>x = -\tfrac{1}{2},</math> gdyż wyróżnik
:: <math>4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0.\,</math>
 
=== Wzory skróconego mnożenia ===
{{Zobacz też|wzory skróconego mnożenia}}
Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.
 
; Przykłady
* Równanie