Wielokąt foremny: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 25 bajtów ,  8 lat temu
m
Dr Red
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
m (ułamek)
m (Dr Red)
'''Wielokąt foremny''' - to [[wielokąt]], który ma wszystkie [[kąt]]y wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są [[Zbiór wypukły|figurami wypukłymi]]. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest [[trójkąt równoboczny]]. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek [[język matematyczny|zdegenerowany]], wyglądałby on jak zwykły [[odcinek]], a kąt między bokami wynosiłby <math>0^\circ\ </math>. Czworokąt foremny to inaczej [[kwadrat (geometria)|kwadrat]].
 
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk [[Carl Friedrich Gauss]], który w [[1801]] odkrył, że <math> ''n\ </math>''-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego [[cyrkiel|cyrkla]] i [[linijka|linijki]] (tzw. [[konstrukcje klasyczne]]) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>''n\ </math>'' jest liczbą postaci
<math>2^k p_1 p_2 \ldots p_s,</math> gdzie <math>p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_s</math> są różnymi [[liczby Fermata|liczbami pierwszymi Fermata]]. Twierdzenie to jest dziś znane jako [[twierdzenie Gaussa-Wantzela]].
 
 
== Wzory ==
*<math>n</math> - liczba boków wielokąta foremnego;
*<math>a</math> - długość jednego boku wielokąta.
 
'''Wzór na miarę [[kąt wewnętrzny|kąta wewnętrznego]] (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:'''
:<math>\gamma=\pi-\frac{2\pi(n-2)}{n}\,\! = 180^\circ - \frac{360180^{\circ}\cdot(n-2)}{n} </math>
 
'''Wzór na miarę [[kąt środkowy|kąta środkowego]] (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):'''
:<math>\beta=\frac{2\pi}{n}\,\!=\frac{360^\circ}{n}</math>
 
'''Wzór na [[promień (geometria)|promień]] [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]] na wielokącie foremnym:'''
:<math>R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{csc}\frac{\pi}{n}</math>
 
'''Wzór na promień [[koło wpisane|koła wpisanego]] w wielokąt foremny:'''
:<math>r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}</math>
 
'''Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:'''
:<math>a=2\sqrt{R^2-r^2}</math>
:<math>a=2R \operatorname{sin} \frac{\pi}{n}</math>
:<math>a=2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{n}</math>
 
 
'''Wzór na [[pole powierzchni]] wielokąta foremnego:'''
:<math>S=\frac{nar}{2}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=nR^2\operatorname{sin}\frac{\pi}{n}\operatorname{cos}\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}\,\!</math>
 
'''Wzór na długośćdługości [[przekątna|przekątnych]] wielokąta foremnego:'''
:<math>d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},</math>
gdzie <math>k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,</math>