Wersja z 14:43, 24 sie 2014 edytuj Matman z Lublina (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 3321 edycji m ułamek ← poprzednia edycja		Wersja z 12:13, 30 sie 2014 edytuj anuluj edycję Matman z Lublina (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 3321 edycji m Dr Red następna edycja →
Linia 1: '''Wielokąt foremny''' ~~- to~~– [[wielokąt]], który ma wszystkie [[kąt]]y wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są [[Zbiór wypukły\|figurami wypukłymi]]. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest [[trójkąt równoboczny]]. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek [[język matematyczny\|zdegenerowany]], wyglądałby on jak zwykły [[odcinek]], a kąt między bokami wynosiłby <math>0^\circ\ </math>. Czworokąt foremny to inaczej [[kwadrat (geometria)\|kwadrat]]. Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk [[Carl Friedrich Gauss]], który w [[1801]] odkrył, że ~~<math>~~ ''n~~\ </math>~~''-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego [[cyrkiel\|cyrkla]] i [[linijka\|linijki]] (tzw. [[konstrukcje klasyczne]]) wtedy i tylko wtedy, gdy ~~<math>~~''n~~\ </math>~~'' jest liczbą postaci <math>2^k p_1 p_2 \ldots p_s,</math> gdzie <math>p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_s</math> są różnymi [[liczby Fermata\|liczbami pierwszymi Fermata]]. Twierdzenie to jest dziś znane jako [[twierdzenie Gaussa-Wantzela]]. Linia 7: == Wzory == <math>n</math> -– liczba boków wielokąta foremnego; <math>a</math> -– długość jednego boku wielokąta. '''Wzór na miarę [[kąt wewnętrzny\|kąta wewnętrznego]] (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:''' :<math>\gamma=~~\pi-~~\frac{2\pi(n-2)}{n}\,\! = ~~180^\circ -~~ \frac{~~360~~180^{\circ}\cdot(n-2)}{n} </math> '''Wzór na miarę [[kąt środkowy\|kąta środkowego]] (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):''' :<math>\beta=\frac{2\pi}{n}\,\!=\frac{360^\circ}{n}</math> '''Wzór na [[promień (geometria)\|promień]] [[Okrąg opisany na wielokącie\|okręgu opisanego]] na wielokącie foremnym:''' :<math>R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{csc}\frac{\pi}{n}</math> '''Wzór na promień [[koło wpisane\|koła wpisanego]] w wielokąt foremny:''' :<math>r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}</math> '''Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:''' :<math>a=2\sqrt{R^2-r^2}</math> :<math>a=2R \~~operatorname{~~sin} \frac{\pi}{n}</math> :<math>a=2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{n}</math> Linia 31: '''Wzór na [[pole powierzchni]] wielokąta foremnego:''' :<math>S=\frac{nar}{2}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=nR^2\~~operatorname{~~sin}\frac{\pi}{n}\~~operatorname{~~cos}\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}\,\!</math> '''Wzór na ~~długość~~długości [[przekątna\|przekątnych]] wielokąta foremnego:''' :<math>d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},</math> gdzie <math>k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,</math>

Wielokąt foremny: Różnice pomiędzy wersjami