Odkształcenie: Różnice pomiędzy wersjami

Zależność pomiędzy stanem odkształcenia, a [[naprężenie|naprężenia]] określa m.in. [[Prawo Hooke'a]].

 

Przy rozpatrywaniu uproszczonego przypadku rozciągania, bądź ściskania, czyli odkształcenia liniowego [[pręt (mechanika)|pręta]] tylko wzdłuż jego długości,

biorąc pod uwagę dwa dowolnie wybrane punkty wewnątrz nieobciążonego ciała, można określić odległość pomiędzy nimi. W chwili obciążenia tego ciała siłami zewnętrznymi następuje jego deformacja, a w wyniku tego zmienia się odległość pomiędzy rozpatrywanymi punktami. '''Odkształcenie liniowe''' ε w dowolnym punkcie ciała jest granicą ilorazu różnicy odległości do odległości wyjściowej, gdy odległość wyjściowa zmierza do zera.

Innymi słowy przy definicji odkształcenia w punkcie rozważa się zmiany odległości w bezpośrednim otoczeniu tego punktu.

 

Dla ciała o dowolnym kształcie, poddanego dowolnej deformacji wartości odkształcenia liniowego mogą być różne w zależności od kierunku w jakim są badane. Jeśli rozpatrujemy odkształcenie liniowe w punkcie '''''A''''' położonym w początku układu współrzędnych i obierzemy punkt '''''B''''' leżący na osi '''''x''''' układu, który pod wpływem obciążenia przemieścił się do '''''B' ''''' to odkształcenie liniowe można zapisać jako:

:: <math>\varepsilon_x = \mathop {\lim_{B \to A}}{{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}</math>

:: <math>\varepsilon_x = {{\partial u_x} \over {\partial x}}</math> ; <math>\varepsilon_y = {{\partial u_y} \over {\partial y}}</math> ; <math>\varepsilon_z = {{\partial u_z} \over {\partial z}}</math>

 

Podobnie rozważa się zmiany miar kątowych w bezpośrednim otoczeniu punktu.

Odkształcenie kątowe γ jest granicą ilorazu różnicy kata pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi odcinkami w ciele nieobciążonym i obciążonym, gdy długości tych odcinków zmierzają do zera. Mając dane pole przemieszczeń jak wyżej można zapisać:

:: <math>\gamma_{xy} = {{\partial u_x} \over {\partial y}} + {{\partial u_y} \over {\partial x}}</math> ; <math>\gamma_{yz} = {{\partial u_y} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial y}}</math> ; <math>\gamma_{xz} = {{\partial u_x} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial x}}</math>

 

Chociaż odkształcenia liniowe ''ε'' i kątowe ''γ'' w pełni definiują stan odkształcenia, możliwe jest wyznaczenie innych charakterystycznych wartości odkształceń. Jednym z nich jest '''odkształcenie objętościowe''', które jest miarą zmiany objętości ciała. Z definicji odkształcenie objętościowe to:

: <math>\vartheta = \lim_{V^{(0)} \to 0}{V - V^{(0)} \over {V^{(0)}}}</math>

: <math>\vartheta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z</math>

 

Stosując jednolite oznaczenie dla obu typów odkształceń można zapisać odkształcenie w postaci '''tensora odkształcenia''':

:: <math>\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left({\nabla_i u_j + \nabla_j u_i}\right)</math>,

gdzie: '''''g^ij''''' - kontrawariantny [[tensor metryczny]] lub w notacji tensorowej: <math>\vartheta = tr(\varepsilon)</math>

 

Powyższe rozważania dotyczą tzw. ''przypadku małych odkształceń''. Oczywiście jest dyskusyjnym, co można nazywać małymi odkształceniami. Nie ma tu konkretnych rozgraniczeń, należy być jednak świadomym rosnących błędów wraz ze wzrostem odkształceń.