Transformacja Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami

'''Jednostronną transformatą Laplace'aLaplace’a''' [[Funkcja|funkcji]] <math>\mathbb{R} \ni t \mapsto f(t) \in \mathbb{R}</math> nazywamy następującą funkcję <math>\mathbb{C} \ni s \mapsto F(s) \in \mathbb{C}</math>:

Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace'aLaplace’a) jest zbieżna.

Funkcję <math>X \ni f \to \mathcal{L}(f) </math> nazywamy '''transformacją Laplace'aLaplace’a'''

Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty a transformacji Laplace'aLaplace’a. Zgodnie z powyższą definicją '''transformacja Laplace'aLaplace’a''' jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace'aLaplace’a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast '''transformata Laplace'aLaplace’a''' jest jedynie obrazem pewnej funkcji <math>f(t)</math> przez transformację Laplace'aLaplace’a.

Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace'aLaplace’a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był [[Pierre Simon de Laplace]].

== Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'aLaplace’a ==

Wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace'aLaplace’a przedstawia się na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyznie zespolonej]] (tzw. [[Płaszczyzna S|płaszczyźnie 's']]). Płaszczyzna 's' jest to matematyczna dziedzina, w której zamiast spoglądać na procesy w [[dziedzina czasu|dziedzinie czasu]] gdzie modeluje się je za pomocą funkcji czasu, widzi się je jako równania w [[dziedzina częstotliwości|dziedzinie częstotliwości]].

Jednym ze sposobów na zrozumienie co otrzymuje się w wyniku takiego działania polega na zwróceniu się ku [[Transformacja Fouriera|analizie Fouriera]]. W [[Transformacja Fouriera|analizie Fouriera]], krzywe [[harmoniczna|harmoniczne]] [[funkcje trygonometryczne|sinus]] i [[funkcje trygonometryczne|cosinus]] (z [[wzór Eulera|wzoru Eulera]] mamy bowiem <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x\,</math>, zob. też [[szereg Fouriera]]) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też [[widmo sygnału]]). Transformacja 's' (powszechnie określana mianem transformacji Laplace'aLaplace’a) wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie <math>e^{-st}\,</math> ujmuje nie tylko częstotliwości ale również rzeczywiste efekty <math>e^{-t}\,</math>. Transformacja 's' uwzględnia więc nie tylko [[charakterystyka częstotliwościowa|przebiegi częstotliwościowe]] ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład [[Drgania tłumione|krzywa sinusoidalna tłumiona]] może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji 's'. Transformacja Laplace'aLaplace’a stanowi więc uogólnienie [[Transformacja Fouriera|transformacji Fouriera]]. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace'aLaplace’a dla <math>s=j\omega</math>. Podobnie [[transformata Z]] stanowi uogólnienie [[dyskretna transformata Fouriera|dyskretnej transformaty Fouriera]]. Powiązanie transformaty Laplace'aLaplace’a z [[transformata Z|transformatą Z]] zob. [[metoda Tustina]].

== Transformaty Laplace'aLaplace’a częściej spotykanych funkcji ==

== Transformata odwrotna Laplace'aLaplace’a ==

{{osobny artykuł|odwrotna transformata Laplace'aLaplace’a}}

{{osobny artykuł|Transmitancja operatorowa|o1=Funkcja przejścia}}

Transformata Laplace'aLaplace’a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie [[układ liniowy|liniowych]] [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]]. W inżynierii i [[fizyka|fizyce]] jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest [[płaszczyzna S]]. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez <math>s\,</math> daje efekt [[różniczka|różniczkowania]] (zob. [[człon różniczkujący]]), dzielenie przez <math>s\,</math> daje efekt [[całka|całkowania]] (zob. [[człon całkujący]]). Analiza pierwiastków [[Liczby zespolone|zespolonych]] równania na płaszczyźnie 's' i przedstawienie ich na [[płaszczyzna zespolona|wykresie Arganda]], może ujawnić informacje na temat [[charakterystyka częstotliwościowa|charakterystyk częstotliwościowych]] i na temat [[Stabilność układu automatycznej regulacji|stabilności układu]] (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).