|
'''Liczba pierwsza Sophie Germain''' – w [[Teoria liczb|teorii liczb]] dowolna [[liczba pierwsza]] ''<math>p''</math>, dla której liczba 2''p''<math>2p + 1</math> również jest pierwsza (np. 23, ponieważ 2 · 23 + 1 = 47 jest liczbą pierwszą); liczby te zostały nazwane na cześć [[Sophie Germain|Marie-Sophie Germain]] {{OEIS|id=A005384}}. Przypuszczalnie istnieje [[Nieskończoność|nieskończenie]] wiele liczb pierwszych Sophie Germain, jednak do 2012 roku jest to [[nierozwiązane problemy w matematyce|problem otwarty]]. Największą znaną do 2012 roku liczbą pierwszą Sophie Germain jest 18543637900515·2<supmath>18543637900515\cdot 2^{666667} - 1</supmath>-1, a jej zapis dziesiętny wymaga 200701 cyfr; została znaleziona w kwietniu 2012 przez [[Philipp Bliedung|Philipa Bliedunga]], podczas rozproszonych obliczeń w ramach projektu [[PrimeGrid]], przy użyciu programów TwinGen oraz LLR.
Heurystyczne oszacowanie ilości liczb pierwszych Sophie Germain (za [[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardym]] i [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewoodem]]) wśród liczb pierwszych mniejszych od ''<math>n''</math> wynosi 2 ''C''<sub>2</submath>2C_2 / (ln ''(n'')<sup>)^2</supmath>, gdzie ''C''<submath>2C_2</submath> jest stałą bliźniaczych liczb pierwszych, w przybliżeniu 0,660161. Dla ''<math>n'' = 10<sup>^4</supmath> to oszacowanie przewiduje istnienie 156 liczb pierwszych Sophie Germain, co jest wartością o 20% mniejszą od faktycznej ilości tych liczb w przedziale, wynoszącą 190. Natomiast dla większej próbki ''<math>n'' = 10<sup>^7</supmath> oszacowanie daje wynik 50822, a błąd wynosi 10% względem dokładnej wartości 56032.
Ciąg {''p'', 2''p''+1, 2 (2''p''+1)+1, ...} jednej lub więcej liczb pierwszych Sophie Germain, kończący się liczbą, która nie musi być liczbą pierwszą Sophie Germain, nazywana jest [[łańcuch Cunninghama|łańcuchem Cunninghama]] pierwszego rodzaju. Każdy wyraz tego ciągu, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego, jest jednocześnie liczbą pierwszą Sophie Germain i bezpieczną liczbą pierwszą.
Jeśli liczba pierwsza Sophie Germain ''<math>p''</math> przystaje do 3 (mod 4), to odpowiadająca jej liczba pierwsza 2''p''<math>2p + 1</math> jest dzielnikiem [[liczby Mersenne'a]] 2<supmath>''2^p'' - 1</supmath>-1.
== Generatory liczb pseudolosowych ==
Liczby pierwsze Sophie Germain mają praktyczne zastosowanie w [[generator liczb pseudolosowych|generowaniu liczb pseudolosowych]]. Rozwinięcie dziesiętne <math>1/''q''</math> tworzy ciąg ''<math>q'' - 1</math> pseudolosowych cyfr, o ile ''<math>q''</math> jest bezpieczną liczbą pierwszą liczby pierwszej Sophie Germain ''<math>p''</math>, przy ''<math>p''</math> przystającym do 3, 9, lub 11 (mod 20). Pasującymi liczbami pierwszymi ''<math>q''</math> są 7, 23, 47, 59, 167, 179, itd. (odpowiadają odeone ''<math>p''</math> = 3, 11, 23, 29, 83, 89, itd.). Wynik to ciąg ''<math>q'' - 1</math> cyfr, włączając wiodące zera. Dla przykładu, używając ''<math>q''</math> = 23, wygenerowany zostanie następujący ciąg: 0, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 0, 8, 6, 9, 5, 6, 5, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 3. Liczby te nie nadają się do zastosowań kryptograficznych, ponieważ wartość każdej kolejnej można obliczyć używając jej poprzedników.
== Linki zewnętrzne ==
|
