Transformacja Z: Różnice pomiędzy wersjami

'''Transformata Z,''' '''transformata Laurenta''' – jest odpowiednikiem [[Transformata Laplace'a|transformaty Laplace'a]] stosowanym do opisu i analizy [[układ dyskretny|układów dyskretnych]].

 

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez [[Pierre Simon de Laplace|Pierre Simon de Laplace'a]]. W [[1947]] roku transformatę wprowadził ponownie [[Witold Hurewicz]] jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W [[1952]] roku [[John R. Ragazzini|John Ragazzini]] i [[Lotfi A. Zadeh|Lofti Zadeh]] pracując z zagadanieniami [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] w zespole na [[Columbia University]] nadali jej nazwę ''transformaty Z''.

 

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda [[Funkcja tworząca|funkcji tworzących]], którą to datuje się na rok [[1730]], kiedy to została wprowadzona przez [[Abraham de Moivre|Abrahama de Moivre'a]] w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako [[szereg Laurenta]], gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

 

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu <math>f^\ast(t)</math> jest nazywana funkcja:

:<math>Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)</math>

=== Przesunięcie w dziedzinie czasu ===

:<math>Z[f(kT+mT) \cdot 1(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right]</math>,

 

=== Transformata sumy ===

* <math>\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}</math>

 

| 1 || <math>\delta(n)\, </math> || <math>1\, </math> ||<math> z \in \R\, </math>

|-

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, <math> \delta(n) </math>.

 

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

<math> \delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases} </math>

 

Korzystając z definicji otrzymujemy:

<math> Z[ \delta(n) ] = \ldots + 0 \cdot z^{2} + 0 \cdot z^{1} + 1 \cdot z^0 + 0 \cdot z^{-1} + 0 \cdot z^{-2} + \ldots </math>,

 

stąd:

<math> Z[\delta(n)] = 1 </math>

 

=== Przykład 2 ===

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu <math> x(n) </math> zdefiniowanego następująco:

<math> x(n) = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \}</math> dla <math> n \geq 0</math> oraz <math> x(n)=0 </math> dla <math> n < 0 </math>.

 

Zauważmy, że dla <math> n \geq 0 </math>:

<math> x(n) = \left( \frac{1}{2} \right)^n </math>

 

oraz

<math> x(n) = 0</math> dla <math> n < 0 </math>.

 

Pozwala to zapisać ciąg <math>x(n)</math> za pomocą następującego zwartego wzoru:

<math> x(n) = u(n) \left( \frac{1}{2} \right)^n </math>

 

Zatem:

<math> Z[ x(n) ] = \ldots + 0\cdot z^2 + 0 \cdot z^1 + 1\cdot z^0 + \frac{1}{2} \cdot z^{-1} + \frac{1}{4} \cdot z^{-2} + \frac{1}{8} \cdot z^{-3} + \ldots </math>

 

 

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem <math> q = \frac{1}{2} z^{-1} </math>. Szereg jest zbieżny gdy:

<math> |q| < 1 </math>

 

co oznacza, że:

<math> |z| > \frac{1}{2} </math>

 

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolnej <math>z</math>, nierówność <math> |z| > \frac{1}{2} </math> jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu <math> \frac{1}{2} </math>. Gdy <math> |z| > \frac{1}{2} </math>, transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

<math> Z[ x(n) ] = \frac{1}{ 1 - q } = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2} z^{-1} } = \frac{z}{z - \frac{1}{2}} </math>

 

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu <math> x(n) = u(n) a^n </math>

 

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

<math> Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^\infty a^n z^{-n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a z^{-1} \right)^n </math>

 

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

<math> \left| a z^{-1} \right| < 1</math>, lub

<math> | z | > | a | </math>.

 

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolnej <math>z</math>, nierówność <math> |z| > |a| </math> jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu <math> |a| </math>. Gdy <math> |z| > |a| </math>, transformata istnieje i jest równa:

<math> Z[ x(n) ] = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z-a} </math>

 

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego <math> u(n) </math>.

 

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

<math> u(n) = a^n u(n) </math> gdzie <math> a = 1 </math>,

 

stąd:

<math> Z[ u(n) ] = \frac{z}{z-1} </math>

 

* [[zmodyfikowana transformata Z]]

* [[transformata z gwiazdką]]

 

== Bibliografia ==

* Michał Tadeusiewicz, ''Signals and Systems'', Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.

* Przemysław Barański, ''Przekształcenie Z - zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów - zbiór zadań'', Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.