Transformacja Z: Różnice pomiędzy wersjami

{{dopracować|definicja jest trochę niejasna; Wzór nazwany "transformata„transformata sumy"sumy” jest bardzo niejasny. Etc}}

'''Transformata Z,''' '''transformata Laurenta''' – jest odpowiednikiem [[TransformataTransformacja Laplace'aLaplace’a|transformaty Laplace'aLaplace’a]] stosowanym do opisu i analizy [[układ dyskretny|układów dyskretnych]].

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez [[Pierre Simon de Laplace|Pierre Simon de Laplace'aLaplace’a]]. W [[1947]] roku transformatę wprowadził ponownie [[Witold Hurewicz]] jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W [[1952]] roku [[John R. Ragazzini|John Ragazzini]] i [[Lotfi A. Zadeh|Lofti Zadeh]] pracując z zagadanieniami [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] w zespole na [[Columbia University]] nadali jej nazwę ''transformaty Z''.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w [[transformataTransformacja Laplace'aLaplace’a|transformacie Laplace'aLaplace’a]], co wydaje się zasadne jako, że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace'aLaplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace'aLaplace’a, transformata Hartley'a,Hartley’a itp.).

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda [[Funkcja tworząca|funkcji tworzących]], którą to datuje się na rok [[1730]], kiedy to została wprowadzona przez [[Abraham de Moivre|Abrahama de Moivre'aMoivre’a]] w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako [[szereg Laurenta]], gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

: <math>Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)</math>

: <math>F(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) z^{-k}</math>,

gdzie: <math>F(z)\,</math> – transformata oryginału; <math>f(kT)\,</math> – oryginał dyskretny; <math>k=1, 2, \ldots</math>.

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż [[funkcja wykładnicza]], np. dla funkcji <math>f(k) = k!\,</math> lub <math>f(k) = e^{ak^2} (a > 0)</math> nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

: <math>Z[af_{1}(kT) + bf_{2}(kT)] = aF_{1}(z) + bF_{2}(z)\,</math>

: <math>Z[f(kT+mT) \cdot 1(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right]</math>,

: gdzie <math>m\,</math> – dowolna dodatnia [[Liczby całkowite|liczba całkowita]]; <math>1(kT)\,</math> – [[Funkcja skokowa Heaviside'a|funkcja skokowa]].

: <math>Z\left[g(kT)\right] = Z\left[\ \sum_{n=-\infty}^{k}\ f(nT)\right] = \frac{z}{z-1} F(z)</math>

: <math>Z[f((k+1)T) - f(kT)] = (z-1) F(z) - zf(0)\,</math>

: <math>Z[f_{1}(n) * f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots+f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots+f_{1}(n) \cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z) \cdot F_{2}(z)</math>

: <math>\lim_{k \rightarrow 0^{+}} f(kT) = \lim_{z \rightarrow \infty} F(z)</math>

: Jeśli istnieje granica, <math>\lim_{k \rightarrow \infty} f(kT)</math>, to ma ona wartość:

: <math>f_{\infty} = \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z-1}{z} F(z)</math>.

| 1 || <math>\delta(n)\, </math> || <math>1\, </math> || <math> z \in \R\, </math>

| 2 || <math>u(n)\,</math> || <math> \frac{1}{1-z^{-1}}</math> || <math>|z| > 1\,</math>

| 3 || <math>a^n u(n)\,</math> || <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> || <math> |z| > |a|\,</math>

| 4 || <math>n a^n u(n)\,</math> || <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> || <math>|z| > |a|\,</math>

| 5 || <math>-a^n u(-n-1)\,</math> || <math> \frac{1}{1-a z^{-1}}</math> || <math> |z| < |a|\,</math>

| 6 || <math>-n a^n u(-n-1)\,</math> || <math> \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }</math> || <math> |z| < |a|\,</math>

| 7 || <math>\cos(\omega_0 n) u(n) \,</math> || <math> \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }</math> || <math> |z| >1\,</math>

| 8 || <math>\sin(\omega_0 n) u(n) \,</math> || <math> \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }</math> || <math> |z| >1\,</math>

| 9 || <math>a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,</math> || <math> \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }</math> || <math> |z| > |a|\,</math>

| 10 || <math>a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,</math> || <math> \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }</math> || <math> |z| > |a|\,</math>

== Przykłady ==

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, <math> \delta(n) </math>.

<math> \delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases} </math>

<math> Z[ \delta(n) ] = \ldots + 0 \cdot z^{2} + 0 \cdot z^{1} + 1 \cdot z^0 + 0 \cdot z^{-1} + 0 \cdot z^{-2} + \ldots </math>,

<math> Z[\delta(n)] = 1 </math>

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu <math> x(n) </math> zdefiniowanego następująco:

<math> x(n) = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \}</math> dla <math> n \geq 0</math> oraz <math> x(n)=0 </math> dla <math> n < 0 </math>.

Zauważmy, że dla <math> n \geq 0 </math>:

<math> x(n) = \left( \frac{1}{2} \right)^n </math>

oraz

<math> x(n) = 0</math> dla <math> n < 0 </math>.

<math> x(n) = u(n) \left( \frac{1}{2} \right)^n </math>

<math> Z[ x(n) ] = \ldots + 0\cdot z^2 + 0 \cdot z^1 + 1\cdot z^0 + \frac{1}{2} \cdot z^{-1} + \frac{1}{4} \cdot z^{-2} + \frac{1}{8} \cdot z^{-3} + \ldots </math>

<math> Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} z^{-1} \right )^n </math>

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem <math> q = \frac{1}{2} z^{-1} </math>. Szereg jest zbieżny gdy:

<math> |q| < 1 </math>

<math> |z| > \frac{1}{2} </math>

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej <math>z</math>, nierówność <math> |z| > \frac{1}{2} </math> jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu <math> \frac{1}{2} </math>. Gdy <math> |z| > \frac{1}{2} </math>, transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

<math> Z[ x(n) ] = \frac{1}{ 1 - q } = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2} z^{-1} } = \frac{z}{z - \frac{1}{2}} </math>

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu <math> x(n) = u(n) a^n </math>

<math> Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^\infty a^n z^{-n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a z^{-1} \right)^n </math>

<math> \left| a z^{-1} \right| < 1</math>, lub

<math> | z | > | a | </math>.

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej <math>z</math>, nierówność <math> |z| > |a| </math> jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu <math> |a| </math>. Gdy <math> |z| > |a| </math>, transformata istnieje i jest równa:

<math> Z[ x(n) ] = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z-a} </math>

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego <math> u(n) </math>.

'''Rozwiązanie'''

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

<math> u(n) = a^n u(n) </math> gdzie <math> a = 1 </math>,

<math> Z[ u(n) ] = \frac{z}{z-1} </math>

Obszar zbieżności wynosi: <math> |z| > 1 </math>

== Powiązanie z transformatą Fouriera ==

Transformata Z stanowi uogólnienie [[dyskretna transformata Fouriera|dyskretnej transformaty Fouriera]]. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

: <math>X(z)\,</math> dla <math>z=e^{j\omega}\,</math>

lub innymi słowy określenie jej wartości na [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowym]]. Aby określić [[charakterystyka częstotliwościowa|charakterystykę częstotliwościową]] układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

== Powiązanie z transformatą Laplace'aLaplace’a ==

* Przemysław Barański, ''Przekształcenie Z -– zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów -– zbiór zadań'', Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.