|
== Definicja ==
Niech ''<math>X''</math> i ''<math>Y''</math> będą [[przestrzeń unormowana|przestrzeniami unormowanymi]] oraz niech ''<math>D''</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym]] [[podzbiór|podzbiorem]] otwartym ''<math>X''</math>. Przekształcenie ''<math>F'':\colon ''D'' →\to ''Y''</math> nazywane jest '''dyfeomorfizmem''', gdy
# [[obraz (matematyka)|obraz]] ''<math>F''(''D'')</math> jest otwartym podzbiorem ''<math>Y''</math>,
# ''<math>F''</math> jest [[funkcja różnowartościowa|funkcją różnowartościową]],
# ''<math>F''</math> i ''F''<supmath> F^{-1}</supmath> (jako funkcja określona na ''<math>F''(''D'')</math> są klasy ''C''<supmath>C^{1}</supmath>.
Z powyższej definicji wynika, że jeśli ''<math>F''</math> jest dyfeomorfizmem, to ''<math>F''</math> i ''F''<supmath> F^{-1}</supmath> są [[odwzorowanie regularne|odwzorowaniami regularnymi]]. Inaczej, każde [[bijekcja|odwracalne]] odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest [[homeomorfizm]]em.
W szczególnym przypadku, gdy ''<math>X'' =\mathbb '''R'''<sup>''^{m''}</supmath>, ''<math>Y'' =\mathbb '''R'''<sup>''^{k''}</supmath>, dyfeomorfizmy to po prostu zanurzenia homeomorficzne klasy ''C''<supmath>C^1</supmath> o [[różniczka|różniczce]] maksymalnego [[rząd (algebra liniowa)|rzędu]], których funkcja odwrotna jest klasy ''C''<supmath>C^1</supmath> w obrazie.
W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną<ref>{{cytuj książkę|autor =John W. Milnor |tytuł = Topologia z różniczkowego punktu widzenia| wydawca =PWN |miejsce = Warszawa| rok =1969 | strony =11 }}</ref>.
=== Dyfeomorfizm przywiedlny ===
Niech ''D'' będzie otwartym podzbiorem '''R'''<supmath>''\mathbb R^m''</supmath>. Mówi się, że dyfeomorfizm
:<math>\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\colon D\to \mathbb{R}^m</math>
jest '''przywiedlny''', gdy istnieją takie ''<math>i'', ''j''\leqslant ≤ ''m''</math>, że
:<math>\varphi_i(x_1,\ldots,x_m)=x_j</math> dla <math>(x_1,\ldots, x_m)\in D</math>.
Funkcja
:<math>\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)</math>
jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy ''C''<supmath>C^1</supmath>, że
:<math>\varphi^\prime(t)\neq 0</math> dla <math>t\in (a,b)</math>
(por. [[#Definicja|definicję]] dla ''<math>X'' = ''Y'' =\mathbb '''R'''<sup>''^m''</supmath>). Dyfeomorfizm <math>\varphi</math> ''zachowuje [[orientacja (rozmaitość)|orientację]]'' (osi liczbowej), jeśli
:<math>\varphi^\prime>0</math>
i ''zmienia orientację'' w przeciwnym wypadku, tzn. gdy
== Grupa dyfeomorfizmów ==
[[złożenie funkcji|Złożenie]] dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. [[Automorfizm]] [[Rozmaitość różniczkowa|rozmaitości różniczkowej]] ''<math>M''</math> jest dyfeomorfizmem ''<math>M''</math> na siebie. W ten sposób można rozważać [[grupa (matematyka)|grupę]] automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznacza się symbolem Diff ''M''<math>DiffM</math>.
== Ważne dyfeomorfizmy ==
== Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie ==
Niech ''<math>X''</math> i ''<math>Y''</math> będą [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]], ''<math>D''</math> będzie niepustym, otwartym podzbiorem ''<math>X''</math> oraz będzie dane odwzorowanie ''<math>F'':\colon ''D'' →\to ''Y''</math> klasy ''C''<supmath>C^1</supmath>. Jeśli ''<math>F''</math> jest różniczkowalne w punkcie ''x''<sub>0</submath>x_0 ∈\in ''D''</math> oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) ''<math>X''</math> na ''<math>Y''</math>, to istnieje takie [[otoczenie punktu|otoczenie]] ''<math>U'' ⊆\subseteq ''D''</math> punktu ''x''<submath>0x_0</submath>, że odzworowanie ''<math>F''|<sub>''U''_U</submath> jest dyfeomorfizmem.
Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu [[twierdzenie o funkcji uwikłanej|twierdzenia o funkcji uwikłanej]].
| 