Baza (przestrzeń liniowa): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
poprzednia definicja była niepoprawna (baza nie może być przecież minimalnym zbiorem liniowo niezależnym, bo wtedy każda baza byłaby singletonem!), nowa definicja, twierdzenie o warunkach równoważnych, przypisy |
||
Linia 3:
''Uwaga'': Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami ''bazami Hamela'' (jest to częsty zwyczaj w [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]]). Z drugiej strony, niektórzy matematycy rezerwują nazwę ''baza Hamela'' dla dowolnej bazy przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] jako przestrzeni liniowej nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby wymierne|liczb wymiernych]].
== Definicja ==▼
== Definicja w przypadku skończonym ==
:<small>''Dla uproszczenia definicja została podana w przypadku bazy skończonej. Rozszerzenie do dowolnie dużej bazy jest intuicyjne.''</small>
Niech <math>\mathbb{V}</math> będzie [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]]. Układ wektorów <math>x_1,\ldots , x_n</math> jest bazą wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x_1,\ldots , x_n</math> jest liniowo niezależny oraz wektory <math>x_1,\ldots , x_n</math> generują całą przestrzeń <math>\mathbb{V}</math><ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.94, Definicja 6.7'''</ref><ref>[[Andrzej Białynicki-Birula]], ''Algebra'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0; '''s.66, Twierdzenie 5.3.(b)'''</ref>.
== Twierdzenie o warunkach równoważnych na bazę przestrzeni wektorowej ==
Niech <math>\mathbb{V}</math> będzie [[przestrzeń liniowa|przestrzenią wektorową]]. Niech wektory <math>x_1,\ldots , x_n</math> należą do tej przestrzeni.
Następujące warunki są równoważne:
# <math>x_1,\ldots , x_n</math> to baza przestrzeni <math>\mathbb{V}</math>;
# <math>\forall_{y\in\mathbb{V}} y\mbox{ ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów } x_1,\ldots , x_n</math>;
# <math>x_1,\ldots , x_n</math> to minimalny układ wektorów generujących <math>\mathbb{V}</math>
# <math>x_1,\ldots , x_n</math> to maksymalny układ liniowo niezależny<ref>Andrzej Sołtysiak, ''Algebra liniowa'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; '''s.62, Twierdzenie 4.4</ref>.
=== Dowód<ref>Andrzej Sołtysiak, ''Algebra liniowa'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; '''s.62-63, Twierdzenie 4.4 - dowód</ref> ===
Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.
==== 1 => 2 ====
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje <math>y_0</math>, taki że:
: <math>y_0 = \xi_1 x_1 + \ldots + \xi_n x_n</math>
: <math>y_0 = \Phi_1 x_1 + \ldots + \Phi_n x_n</math>.
Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki korzystając z własności przestrzeni wektorowej otrzymamy, że:
: <math>0=y_0-y_0=(\xi_1 - \Phi_1)x_1 + \ldots (\xi_n - \Phi_n)x_n</math>.
Stąd jasno wynika, że <math>\xi_1=\Phi_1 , \ldots , \xi_n = \Phi_n</math>, co doprowadza do sprzeczności.
==== 2 => 3 ====
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go: <math>x_1,\ldots , x_{n-1}</math>.
Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:
:<math>x_n = \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_{n-1}x_{n-1} + 0\cdot x_n</math>.
Możemy jednak również wektor <math>x_n</math> zapisać jako:
:<math>x_n= 0\cdot x_1 + \ldots + 0\cdot x_{n-1} + 1\cdot x_n</math>.
Zauważmy jednak, że <math>0\neq 1</math>. Zatem wektor <math>x_n</math> został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów <math>x_1, \ldots, x_n</math>, co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora <math>x_n</math>.
==== 3 => 4 ====
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ <math>x_1,\ldots , x_n</math> jest liniowo zależny.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że <math>x_1 = \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n</math>.
Weźmy dowolny wektor <math>y\in\mathbb{V}</math>. Wtedy:
:<math>y=\alpha_1 x_1 + ... + \alpha_n x_n = \alpha_1 (\beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n)+ \alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n = (\alpha_1 \beta_2 + \alpha_2) x_2 + ... + (\alpha_1 \beta_n + \alpha_n) x_n</math>.
Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od <math>x_1, ..., x_n</math> co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ <math>v,x_1,...,x_n</math> jest liniowo niezależny. Ponieważ układ <math>x_1,...,x_n</math> generuje całą przestrzeń <math>\mathbb{V}</math> oraz <math>v\in\mathbb{V}</math>, to:
:<math>v=\zeta_1 x_1 + ... + \zeta_n x_n</math>.
Stąd wynika, że:
:<math>1\cdot v - \zeta_1 x_1 - ... - \zeta_n x_n = 0</math>,
a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu <math>v,x_1,...,x_n</math>.
==== 4 => 1 ====
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ <math>x_1,\ldots , x_n</math> nie generuje przestrzeni wektorowej <math>\mathbb{V}</math>.
Zatem istnieje taki wektor <math>v</math>, który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.
Rozważmy przypadek:
:<math>\varsigma v + \varsigma_1 x_1 + ... + \varsigma_n x_n</math>.
Gdyby <math>\varsigma\neq 0</math>, to <math>v</math> byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.
Gdyby <math>\varsigma = 0</math>, to równanie uprościłoby się do postaci
:<math>\varsigma_1 x_1 + ... + \varsigma_n x_n</math>,
co z liniowej niezależności wektorów <math>x_1, ..., x_n</math>, spowoduje, że <math>\varsigma_1 = 0, ..., \varsigma_n = 0</math>, a ponieważ <math>\varsigma = 0</math>, to układ <math>v, x_1, ..., x_n</math> byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.
▲== Definicja ogólna ==
Baza przestrzeni <math>\mathbb{V}</math> to maksymalny podzbiór liniowo niezależny wektorów tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni <math>\mathbb{V}</math> w taki sposób, aby otrzymany zbiór był liniowo niezależny<ref>Andrzej Sołtysiak, ''Algebra liniowa'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; '''s.62, Definicja 4.5</ref><ref>[[Bolesław Gleichgewicht]], ''Algebra'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; '''s.94, Definicja 6.7'''</ref><ref>[[Andrzej Białynicki-Birula]], ''Algebra'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0; '''s.65-66, Definicja 5.1'''</ref>.
== Przykłady ==
| |||