|
= {1\over\sqrt{10}} \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}. </math>
== Funkcje ciągłe ==
Jeżeli [[iloczyn skalarny]] [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] jest określony wzorem:
<math>\langle f,g\rangle _w = \int\limits_a^b w(x) f(x) g(x) dx.
</math>
gdzie <math>w(x)</math> jest [[funkcja wagowa|funkcją wagową]], to dla zbioru [[Liniowa niezależność|funkcji liniowo niezależnych]] przekształcenie w zbiór [[Ortogonalność#Przykłady|funkcji ortogonalnych]] przebiega następująco:
: <math>g_0(x) = f_0(x)</math>
: <math>g_i(x) = f_i(x) - \sum_{j=0}^{i-1} g_j(t)\frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_j^2(t) dt}</math>
Iloczyn skalarny funkcji <math>g_i(x)</math> i <math>g_j(x)</math> dla różnych <math>i</math>,<math>j</math> wynosi (bez straty ogólności przyjmijmy, że <math>i>j</math>):
: <math>\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt = \int\limits_a^b w(t) g_j(t) f_i(t) dt -
\int\limits_a^b w(s) g_j(s) g_j(s)\frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_j^2(t) dt} ds + </math>
: <math>-
\sum_{k=0 \and k\ne j}^{i-1} \frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_k(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_k^2(t) dt} \int\limits_a^b w(s) g_j(s) g_k(s) ds
</math>
Jeśli dla wszystkich różnych par <math>j,k</math> mniejszych od <math>i</math> iloczyn skalarny wynosi 0, to:
: <math>\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt =
\int\limits_a^b w(t) g_j(t) f_i(t) dt -
\int\limits_a^b w(s) g_j(s) g_j(s)\frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_k(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_k^2(t) dt} ds
</math>
: <math>\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt =
\int\limits_a^b w(t) f_i(t) g_j(t) dt -
\frac{\int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt}{\int\limits_a^b w(t) g_j^2(t) dt} \int\limits_a^b w(s) g_j^2(s) ds
</math>
: <math>\int\limits_a^b w(t) g_j(t) g_i(t) dt = \int\limits_a^b w(t) f_i(t) g_j(t) dt - \int\limits_a^b w(t) f_i(t)g_j(t) dt = 0
</math>
== Bibliografia ==
| 