Równanie kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 14 bajtów ,  5 lat temu
m
Drobne redakcyjne - poprawki linków, apostrofów, cudzysłowów...
(niewielka poprawka w kodzie strony)
m (Drobne redakcyjne - poprawki linków, apostrofów, cudzysłowów...)
{{Dopracować|uzupełnić|2=historia, bardziej bezpośrednie odwołanie do funkcji kwadratowej (metoda graficzna), ogólniej o rezolwentach lagrange'aLagrange’a (teraz połączone ze wzorami viète'aViète’a, metody numeryczne (uwarunkowania), wprost o postaci monicznej (a = 1), pełniej o różnych ciałach (w tym charakterystyki 2 i rozszerzeniach; opisanie symbolu pierwiastka w ich kontekście)}}
{{Inne znaczenia|równań kwadratowych i ich rozwiązań|[[funkcja kwadratowa]], gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście}}
[[Plik:Quadratic equation coefficients.png|thumb|350px|[[Wykres (matematyka)|Wykres]] funkcji kwadratowej zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] przy zmianie różnych współczynników.]]
Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie [[liczby zespolone|zespolonej]] – w szczególności, gdy <math>\Delta < 0,</math> to
: <math>\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2},</math>
gdzie <math>i</math> jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]], a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa [[sprzężenie zespolone|sprzężone]] ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi <math>\tfrac{-b}{2a}.</math> Jeżeli <math>\Delta > 0,</math> to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem <math>\tfrac{-b}{2a}.</math> Przypadki dla <math>\Delta \ne 0</math> można podsumować zdaniem: [[średnia arytmetyczna]] pierwiastków wynosi <math>\tfrac{-b}{2a}</math> (por. [[#Wzory Viète'aViète’a|wzory Viète'aViète’a]]).
 
[[Plik:Quadratic equation discriminant.png|thumb|Przykłady różnych znaków wyróżnika:<br /><span style="color:#FFE600">■</span> &lt;0: ''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><br /><span style="color:#bc1e47">■</span> =0: −<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''−<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub><br /><span style="color:#0081cd">■</span> &gt;0: <sup>3</sup>⁄<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''x''−<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>]]
:: <math>x = \tfrac{1}{2}</math> oraz <math>x = -\tfrac{1}{2}.</math>
 
=== Wzory Viète'aViète’a ===
{{Zobacz też|wzory Viète'aViète’a}}
Znając jedno rozwiązanie można wskazać drugie korzystając z tzw. wzorów Viète'aViète’a, które dla wielomianu <math>ax^2 + bx + c</math> mają postać
: <math>\begin{cases} x_1 x_2 = \frac{c}{a} \\ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}. \end{cases}</math>
 
312 457

edycji