Wikipedia

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m Wedycji: dajcie mi godzinke albo dwie - sprobuje uporzadkowac ten koszmar...
roz- prze- budowa w oparciu o to co pamietam ze szkoly
Linia 1:
'''Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej''' – [[twierdzenie]] w [[analiza matematyczna|analizie]] i [[teoria miary|teorii miary]] stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego [[ciąg (matematyka)|ciągu]] funkcji [[funkcja mierzalna|mierzalnych]] jest [[funkcja całkowalna|całkowalna]] i jej [[całka]] jest granicą całek z wyjściowych [[funkcja (matematyka)|funkcji]].
{{WEdycji|Stotr}}
Niech:
* <math>\mathcal F</math> będzie [[sigma-ciało|&sigma;-ciałem]] [[podzbiór|podzbiorów]] pewnej [[przestrzeń|przestrzeni]] <math>\Omega</math>,
* <math>\mathcal B,\;\mathcal B^+</math> ''&sigma;''-ciałami [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] odpowiednio na <math>\mathbb R</math> oraz <math>\mathbb R^+</math>,
* <math>\overline{\mathbb R^+} = \mathbb R \cup \{+\infty \},\;\overline{\mathcal B^+} = \langle \mathcal B^+ \cup \{+\infty \} \rangle</math>,
* <math>f_1,f_2,...:(\Omega,\mathcal F) \to (\overline{\Bbb R},\overline\mathcal B)</math> będą [[funkcja mierzalna|funkcjami mierzalnymi]],
* istnieje funkcja <math>g:(\Omega,\mathcal F) \to (\overline{\mathbb R^+}, \overline{\mathcal B^+})</math> taka, że <math>|f_n| \le g \;</math> ''&mu;''-prawie wszędzie, gdzie <math>\int_\Omega g\;d\mu < +\infty</math>
* <math>\lim_{n \to \infty} f_n = f</math> ''&mu;''-prawie wszędzie.
 
Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania [[Francja|francuskiego]] matematyka [[Henri Lebesgue|Henri Lebesgue'a]].
 
==Twierdzenie==
Wtedy:
Załóżmy że:
:(a) <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> jest [[przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną z miarą]],
:(b) <math>f_n:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> (dla dla <math>n\in {\mathbb N}</math>) jest funkcją mierzalną,
:(c) dla pewnej funkcji całkowalnej <math>g:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> mamy, że <math>(\forall x\in X)(\forall n\in {\mathbb N})(|f_n(x)|\leq g(x))</math>,
:(d) dla wszystkich <math>x\in X</math> istnieje [[Granica ciągu|granica]] <math>\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)</math>; niech funkcja <math>f:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> będzie zdefiniowana przez
::<math>f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)</math> dla <math>x\in X</math>.
Wówczas funkcja ''f'' jest całkowalna oraz
::<math>\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0</math> &nbsp; i &nbsp; <math>\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.
 
* <math>f</math> jest [[całka Lebesgue'a|całkowalna w sensie Lebesgue'a]],
* <math>\lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n\;d\mu = \int_\Omega f\;d\mu</math>.
 
Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (d) jest wymagana zbieżność [[zbiór miary zero|prawie wszędzie]] tylko, ale to nie czyni żadnej różnicy.
== Dowód ==
[...]
 
==Szkic Przykład dowodu==
Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że ''f'' jest funkcją mierzalną oraz <math>|f(x)|\leq g(x)</math> (dla wszystkich <math>x\in X</math>), a stąd ''f'' jest całkowalna. Zauważmy, że <math>|f_n(x)-f(x)|\leq 2g(x)</math> (dla każdego ''x''), więc możemy zastosować [[lemat Fatou]] do funkcji <math>h_n=2g-|f_n-f|\ </math>. Ponieważ <math>2g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}h_n(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}h_n(x)</math>, to otrzymujemy wówczas, że
Niech <math>\Omega = [0,1], \mathcal{F}=\mathcal B |_{[0,1]}</math> oraz <math>l</math> będzie [[miara Lebesgue'a|miarą Lebesgue'a]]. Jeżeli <math>f_n(x) = n \chi_{[0,1]}</math>, gdzie <math>\chi</math> jest [[funkcja charakterystyczna|funkcją charakterystyczną]].
:<math>\int 2g\ d\mu\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\int h_n\ d\mu=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=</math>
:<math>\int 2g\ d\mu+\liminf\limits_{n\to\infty}\left(-\int |f_n-f|\ d\mu\right)=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)</math>
 
WtedyStąd już wnioskujemy że <math>f_n\limsup\limits_{n\to\infty}\left(x)\int |f_n-f|\to d\mu\right)=0</math> dlaa zatem <math>x\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\in (d\mu=0,1]</math>, tzn. Ponieważ <math>\left|\int f_n-f\ d\to 0</math> przy <math>nmu\right|\leq\int |f_n-f|\to d\inftymu</math>, ''l''-prawieto możemy też wszędziewywnioskować, natomiastże <math>\int f_nf\;dl d\mu= nl\left(lim\left[0,limits_{1 \over n}\right)\right) = n {1 \overto n\infty} = 1 \not\toint 0=f_n\int 0d\;dlmu</math>.
 
== Przykład ==
A więc '''nie można''' pominąć założenia o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.▼
Rozważmy [[przedział (matematyka)|odcinek]] <math>(0,1)</math> wyposażony w [[miara Lebesgue'a|miarą Lebesgue'a]] &lambda;. Dla [[liczby naturalne|liczby naturalnej]] <math>n\in {\mathbb N}</math> zdefinujmy funkcję <math>f_n:(0,1)\longrightarrow {\mathbb R}</math> przez
:<math> f_n(x) = \left\{\begin{matrix} n & \mbox{gdy} \quad x\in \left(0,\frac{1}{n}\right] \\ 0 & \mbox{gdy} \quad x\in \left(\frac{1}{n},1\right)\end{matrix}\right. </math>
Wtedy <math>f_n(x) \to 0</math> dla <math>x \in (0,1)</math>, natomiast <math>\int f_n\;d\lambda = n\lambda\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right) = n \frac{1}{n} =1 \not\to 0=\int 0\;d\lambda</math>.
 
▲A więc '''nie można''' pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.
 
== Zobacz też ==
* [[całkaCałka Lebesgue'a]],
* [[twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej]],
* [[lemat Fatou]].,
* [[twierdzenie Fubiniego]],
 
 
[[Kategoria: Analiza matematyczna]]▼
[[Kategoria: Teoria miary]]
 
[[de:Satz von der majorisierten Konvergenz]]
Linia 33 ⟶ 44:
[[he:משפט ההתכנסות הנשלטת]]
[[ru:Теорема Лебега о мажорируемой сходимости]]
 
▲[[Kategoria: Analiza matematyczna]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lebesgue’a_o_zbieżności_ograniczonej”