Określoność formy: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Bot: Przenoszę linki interwiki (1) do Wikidata, są teraz dostępne do edycji na d:Q1182685 |
m →Właściwości: poprawa linków |
||
Linia 15:
== Właściwości ==
Wszystkie dodatnio określone formy na przestrzeni wymiaru <math>n</math> są równoważne<ref group="uwaga" name="equiv">Formy kwadratowe <math>\scriptstyle Q_1</math> i <math>\scriptstyle Q_2</math> określone odpowiednio na <math>\scriptstyle V_1</math> i <math>\scriptstyle V_2</math> nazywa się ''równoważnymi'', jeżeli istnieje taki [[izomorfizm liniowy|izomorfizm (liniowy)]] <math>\scriptstyle \mathrm C\colon V_1 \to V_2,</math> który spełniałby <math>\scriptstyle Q_2(\mathrm C\mathbf x) = Q_1(\mathbf x).</math></ref> sumie <math>n</math> kwadratów, a co za tym idzie: są równoważne<ref group="uwaga" name="equiv"/>; podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie. Własności te (w przeciwieństwie do przedstawienia w postaci sumy kwadratów) nie zależą od wyboru współrzędnych. Oznacza to, że wszystkie [[wektory i wartości własne|wartości własne]] dodatnio określonej formy są dodatnie.
Dlatego też formy/macierze dodatnio określone są [[wyznacznik|nieosobliwe]], tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych), a zatem [[macierz odwrotna|odwracalne]]; ponadto forma/macierz odwrotna do niej również jest dodatnio określona<ref group="uwaga">Zgodnie z [[twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)|twierdzeniem Cauchy’ego]] wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością macierzy wyjściowej, odwrotność dodatniej liczby również jest dodatnia</ref> (to samo dotyczy ''[[mutatis mutandis]]'' macierzy ujemnie określonych). Suma form/macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określona<ref>Jeśli <math>\scriptstyle A</math> oraz <math>\scriptstyle B</math> są dodatnio określone, <math>\scriptstyle A(\mathbf x) > 0</math> oraz <math>\scriptstyle B(\mathbf x) > 0</math> dla <math>\scriptstyle \mathbf x \ne \mathbf 0,</math> to <math>\scriptstyle A + B</math> również jest dodatnio określona, ponieważ <math>\scriptstyle (A + B)(\mathbf x) = A(\mathbf x) + B(\mathbf x) > 0</math> dla <math>\scriptstyle \mathbf x \ne \mathbf 0.</math></ref>.
| |||