Twierdzenie Cantora o zupełności: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
→Dowód: poprawa linków |
||
Linia 8:
: Jeżeli <math>\scriptstyle F_1 \supseteq F_2 \supseteq \dots</math> jest ciągiem zbiorów domkniętych przestrzeni metrycznej <math>\scriptstyle X,</math> przy czym <math>\scriptstyle \mathrm{diam}\; F_n \to 0</math> oraz <math>\scriptstyle x_n \in F_n,</math> to <math>\scriptstyle (x_n)</math> jest ciągiem Cauchy'ego. Z zupełności <math>\scriptstyle X</math> wynika, że <math>\scriptstyle a_n \to a \in X,</math> a ponieważ <math>\scriptstyle a_n \in \mathrm{cl}\; F_n = F_n</math> dla <math>\scriptstyle n = 1, 2, \dots</math> (z ich domkniętości), to <math>\scriptstyle a \in \bigcap F_n \ne \varnothing.</math>
; Dostateczność
: Niech <math>\scriptstyle X</math> spełnia warunek Cantora, zaś <math>\scriptstyle (a_n)</math> będzie ciągiem Cauchy'ego. Zbiory domknięte <math>\scriptstyle F_n = \mathrm{cl}\; \{a_m\colon m \geqslant n\}</math> tworzą ciąg zstępujący, dla którego <math>\scriptstyle \mathrm{diam}\; F_n \to 0,</math> zatem istnieje punkt <math>\scriptstyle a \in \bigcap F_n,</math> który jest [[punkt skupienia zbioru|punktem skupienia]] <math>\scriptstyle (a_n),</math> zatem <math>\scriptstyle a_n \to a</math> na mocy własności ciągu Cauchy'ego.
{{przypisy}}
| |||