Zasada dobrego uporządkowania: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne techniczne |
m drobne redakcyjne |
||
Linia 1:
'''Zasada dobrego uporządkowania''' – reguła
Wyrażenie „zasada dobrego uporządkowania” traktowana jest czasami jako
W zależności od sposobu wprowadzenia liczb naturalnych wspomniana własność (drugiego rzędu) liczb naturalnych jest albo [[aksjomat]]em, albo
* W [[arytmetyka Peana|arytmetyce Peana]], [[arytmetyka drugiego rzędu|arytmetyce drugiego rzędu]] i podobnych systemach oraz w większości (niekoniecznie formalnych) podejść matematycznych do zasady dobrego uporządkowania jest ona konsekwencją zasady [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]], która z kolei przyjęta jest jako [[pojęcie pierwotne]].
* Traktując liczby naturalne jako podzbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] i przyjmując, że wiadomo, iż są one [[przestrzeń zupełna|zupełne]] (jako przestrzeń; raz jeszcze na podstawie aksjomatu lub twierdzenia), tzn. każdy [[zbiór ograniczony]] z dołu ma [[kresy dolny i górny|kres dolny]], można dowieść, że każdy zbiór <math>A</math> liczb naturalnych ma kres dolny, dalej oznaczany <math>a^*.</math> Wystarczy teraz znaleźć taką liczbę całkowitą <math>n^*,</math> dla której <math>a^*</math> leży w
* W [[
Przytoczone wyżej wyrażenie wykorzystuje się też czasem w celu uzasadnienia dowodów następującej postaci: aby dowieść, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru <math>S</math> załóżmy przeciwnie i wywnioskujmy dzięki temu istnienie (niezerowego) najmniejszego kontrprzykładu. W dalszej kolejności wystarczy pokazać, że musi istnieć również mniejszy kontrprzykład albo, że najmniejszy kontrprzykład nim nie jest, co w obu przypadkach daje sprzeczność. Ten rodzaj argumentacji ma ten sam związek z dowodem przez [[indukcja matematyczna|indukcję matematyczną]], co „jeśli nie B, to nie A” (reguła ''[[modus tollens]]'') w stosunku do „jeśli A, to B” (reguła ''[[modus ponens]]''). Metoda ta jest podobna do „[[metoda nieskończonego schodzenia|metody nieskończonego schodzenia]]” [[Pierre de Fermat|Fermata]].
|