Wersja z 23:43, 10 lis 2017 edytuj Ignasiak (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 91 728 edycji m drobne techniczne ← poprzednia edycja		Wersja z 23:46, 10 lis 2017 edytuj anuluj edycję Ignasiak (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 91 728 edycji m drobne techniczne, WP:SK następna edycja →
Linia 3: '''Funkcja Mertensa''' - w [[Teoria liczb\|teorii liczb]] funkcja zdefiniowana przez: : <math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)</math> gdzie μ(k) jest [[funkcja Möbiusa\|funkcją Möbiusa]].<ref>{{MathWorld\|tytuł=Mertens Function\|autor=Eric W. Weisstein}}</ref><ref name=":0">{{Cytuj \|autor=Tadej Kotnik, Jan van de Lune \|tytuł=On the Order of the Mertens Function \|czasopismo=Experimental Mathematics \|data=2004 \|data dostępu=2017-11-10 \|issn=1058-6458 \|wolumin=13 \|numer=4 \|s=473–481 \|url=https://projecteuclid.org/euclid.em/1109106439}}</ref><ref name=":1"/>~~https://arxiv~~.~~org/pdf/1610.08551.pdf</ref>~~ Dla każdej liczby naturalnej ''k'' zachodzi <math>\mu(k)\le 1</math>, zatem <math>M(n) \le n</math>.<ref name=":0" />. == Przypuszczenie Mertensa == Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, jako, że dla każdego n : <math>\left\| M(n) \right\| < \sqrt { n }</math>.<ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":1" />. Fakt ten implikowałaby [[hipoteza Riemanna\|hipotezę Riemanna]].<ref name=":2">{{MathWorld\|autor=Eric W. Weisstein\|tytuł=Mertens Conjecture}}</ref>. Jest to powiązane z faktem, iż jesli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer [[Funkcja dzeta Riemanna\|funkcji dzeta Riemanna]].<ref name=":0" /><ref name=":1" />. Okazuje się jednak, że przypuszczenie jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 10<sup>14</sup> a 3,21×10<sup>64</sup>.<ref name=":1" />. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego <math>\epsilon >0</math> wzoru : <math>M(n) = O(n^{\frac{1}{2}+\epsilon})</math>.<ref name=":0" />. Gdyby funkcja Möbiusa została zastała zastąpiona losowym ciągiem +1 i -1, to powyższa własność wynikałaby z [[Prawo iterowanego logarytmu\|prawa iterowanego logarytmu]]. Linia 20: Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik [[Funkcja π\|funkcji pi]] możnaby przybliżyć wzorem: <math>\int\limits_{0}^{x} \frac{du}{ln(u)}+O(x^\theta ln(x))</math>, gdzie theta oznacza półpłaszczyznę <math>\mathfrak{R}(s)>\theta</math>, gdzie s to argument [[Funkcja dzeta Riemanna\|funkcji dzeta Riemanna]].<ref name=":0" />. == Wzory == * Związek pomiędzy [[Funkcja dzeta Riemanna\|funkcją dzeta Riemanna]] a funkcją Mertensa wynika ze wzoru : <math>\frac{1}{\zeta (s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^s}</math>. * <math>M(n) = \sum_{a \in \mathcal{F}_n} e^{2 \pi i a}</math> , gdzie <math>\mathcal{F}_n</math> oznacza <math>n</math>-ty [[ciąg Fareya]]. * M(n) to [[wyznacznik]] <math>n</math>-tej macierzy Redheffera, w której <math>a_{ij}=1</math>, gdy ''j=1'' lub ''i'' dzieli ''j'', a pozostałe wyrazy są zerowe. == Obliczanie wartości funkcji<ref name=":1">{{Cytuj \|autor=Greg Hurst \|tytuł=Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture \|czasopismo=arXiv:1610.08551 [math] \|data=2016-10-26 \|data dostępu=2017-11-10 \|arxiv=1610.08551}}</ref> == {\| cellpadding="5" border="1" \|Osoba Linia 78: {{Przypisy-lista\|l. kolumn=}} == Bibliografia == * Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." '''Astérique''' 147-148, 325-333 i 346, 1987. (fr)

Funkcja Mertensa: Różnice pomiędzy wersjami