Formuła logiczna: Różnice pomiędzy wersjami

[[Zdanie logiczne|Zdania]] rachunku zdań są formułami tegoż rachunku. Tak więc, każda [[zmienna zdaniowa]] <math>p_i</math> jest formułą. Taką formułę nazywa się też [[formuła atomowa|formułą atomową]]. Formułami są także [[negacja|negacje]] formuł atomowych, tzn. <math>\neg p_i</math>. Formuły atomowe i ich negacje nazywa się też ''literałami''. Ponadto, jeżeli <math>\varphi,\psi</math> są formułami i <math>*</math> jest binarnym [[Funktor zdaniotwórczy|spójnikiem zdaniowym]] ([[alternatywa|alternatywą]] <math>\vee</math>, [[Koniunkcja (logika)|koniunkcją]] <math>\wedge</math>, [[Implikacja materialna|implikacją]] <math>\Rightarrow</math> lub [[równoważność|równoważnością]] <math>\Leftrightarrow</math>), to <math>(\varphi*\psi)</math> oraz <math>\neg \varphi</math> są formułami. Żadne inne wyrażenie nie może być formułą.

Wbrew definicji formalnej, w sytuacjach, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, część nawiasów w formule opuszcza się. Przykładowo, zgodnie z definicją formalną wyrażenie : <math>(p \vee q \vee r)</math> nie jest formułą

Rachunek kwantyfikatorów (rachunek predykatów pierwszego rzędu), jako uogólnienie rachunku zdań, posługuje się podobną definicją formalną formuły, rozszerzając ją o [[kwantyfikator]]y -– jeżeli φ jest formułą rachunku kwantyfikatorów, to <math>\forall x \phi</math> oraz <math>\exist x \phi</math> są nią również.

Niech <math>\tau</math> będzie ustalonym alfabetem, czyli zbiorem '''stałych''', '''[[symbol funkcyjny|symboli funkcyjnych]]''' i '''[[symbol relacyjny|symboli relacyjnych]]''' ('''predykatów'''). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną [[Argumentowość|arność]] (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Niech <math>x_0,x_1,\ldots</math> będzie nieskończoną listą '''zmiennych'''.

* jeśli <math>t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}</math> i <math>f\in\tau</math> jest <math>n</math>-arnym symbolem funkcyjnym, to <math>f(t_1,\ldots,t_n)\in {\bold T}</math>.

'''Formuły''' języka <math>{\mathcal L}(\tau)</math> są wprowadzane przez indukcję  po ich złożoności jak następuje:

* jeśli <math>t_1, t_2\in {\bold T}</math>, to wyrażenie <math>t_1= t_2</math> jest formułą (tzw. formuła atomową),

* jeśli <math>t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}</math> zaś <math>P\in\tau</math> jest <math>n</math>-arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie <math>P(t_1,\ldots,t_n)</math> jest formułą (tzw. formuła atomową),

* jeśli <math>\varphi,\psi</math> są formułami oraz <math>*</math> jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to <math>(\varphi*\psi)</math> oraz <math>\neg \varphi</math> są formułami,

* jeśli <math>x_i</math> jest zmienną oraz <math>\varphi</math> jest formułą, to także <math>(\exists x_i)(\varphi)</math> i <math>(\forall x_i)(\varphi)</math> są formułami.

Formuły w których nie ma wolnych występowań  żadnych zmiennych są nazywane [[Zdanie logiczne|zdaniami]] (danego języka).

: <math> \forall A \forall B (\forall x (x\in A\iff x\in B)\Rightarrow A=B)</math>

: <math>(\forall x_1\in G)((x_1 \star x_2) \star x_3 = x_1 \star (x_2 \star x_3))</math>,

: <math>(\exists e \in G) (\forall a \in G)(e \star a = a)</math>,

* [[Koniunkcyjna postać normalna|Koniunktywnadysjunkcyjna postać normalna]]

* [[Dysjunkcyjna postać normalna|Dysjunktywnakoniunkcyjna postać normalna]]

* [[Prawa De Morganalogika]]

* [[Logikaprawa De Morgana]]