Izomorfizm: Różnice pomiędzy wersjami

| opis = Grupa [[Pierwiastek z jedynki|pierwiastków z jedynki]] piątego stopnia z działaniem mnożenia jest izomorficzna z grupą obrotów foremnego pięciokąta.

'''Izomorfizm''' ([[grekaJęzyk grecki|gr.]] ''isos'' – równy, ''morphe'' – kształt) −– [[Bijekcja|funkcja wzajemnie jednoznaczna]] z jednego [[obiekt matematyczny|obiektu matematycznego]] w drugi, która zachowuje [[Funkcja|funkcje]], [[relacja (matematyka)|relacje]] i wyróżnione elementy.

W przypadku obiektów [[algebra uniwersalna|algebry uniwersalnej]] (takich jak [[grupa (matematyka)|grupy]], [[pierścień (matematyka)|pierścienie]], [[moduł (matematyka)|moduły]] itp.) '''izomorfizmem''' nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie <math>\displaystyle f</math> takie, że <math>\displaystyle f</math> i jego [[funkcja odwrotna|odwrotność]] <math>\displaystyle f^{-1}</math> są [[homomorfizm]]ami.

O [[struktura matematyczna|strukturach]]<math>\mathcal A</math> i <math>\mathcal B</math> powiemy, że są '''izomorficzne''', jeżeli istnieje izomorfizm z <math>\mathcal A</math> w <math>\mathcal B</math>.

* Izomorfizm z [[częściowy porządek|częściowego porządku]] <math>\displaystyle (P, <)</math> w częściowy porządek <math>(Q, \triangleleft)</math> to funkcja wzajemnie jednoznaczna <math>h: P \to Q: \forall_{a, b \in P}\; a < b \iff h(a) \triangleleft h(b)</math>.

[[Kategoria (matematyka)|Morfizm]] <math>f\colon X \to Y</math> nazywa się '''izomorfizmem''', jeżeli istnieje morfizm <math>g\colon Y \to X</math> taki, że <math>f \circ g = \operatorname{id}_Y</math> oraz <math>g \circ f = \operatorname{id}_X</math><ref>Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13.</ref>.

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to <math>\displaystyle f</math> jest izomorfizmem, zaś <math>\displaystyle g</math> nazywane jest po prostu odwrotnością <math>\displaystyle f</math>. Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność <math>\displaystyle g</math> jest także izomorficzna z odwrotnością <math>\displaystyle f</math>. O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są '''izomorficzne''' lub '''równoważne'''.

# Każdy izomorfizm jest [[monomorfizm]]em i [[epimorfizm]]em<ref>Bucur, Deleanu, op. cit., s.13-14 13–14.</ref>.

* [[Kategoria (matematyka)|morfizm]]