Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami

Redakcja całości - wstęp mniej abstrakcyjny; ukonkretnienie przykładu z parametryzacją sfery.
(kat.)
(Redakcja całości - wstęp mniej abstrakcyjny; ukonkretnienie przykładu z parametryzacją sfery.)
{{Integracja|rozmaitość gładka}}
{{Dopracować|źródła=2012-08 }}
'''Rozmaitość różniczkowa''' – [[Rozmaitość|rozmaitość topologiczna]], którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych), dającychprzy czym każdy punkt poszczególnych podzbiorów da się [[Równanie parametryczne|sparametryzować]]opisać za pomocą współrzędnych uogólnionych będących funkcjami [[Funkcja|funkcji]] [[Pochodnaróżniczkowalna#Funkcja klasy {\displaystyle C^{n}}|klasy]] co najmniej <math>C^1</math> , tj. posiadającejposiadających [[przekształcenieciągłe liniowe|nieosobliwą]] [[różniczka|różniczkę]]pochodne w każdym punkcie [[dziedzinatego (matematyka)|dziedziny]]podzbioru. Parametryzacje te tworzą '''atlas'''. Bez założenia wielości '''map''' w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi. Np. sfera, dla której nie istnieje globalna, gładka parametryzacja; jednak sferę można przedstawić jako sumę kilku części, które da się łatwo opisać za pomocą równań parametrycznych.
 
Podzbiory, na jakie dzieli się daną rozmaitość, nazywa się '''mapami''', a zbiór map nazywa się '''atlasem'''. Bez założenia wielości map wiele rozmaitości nie można by zaliczyć do rozmaitości różniczkowych. Np. [[Sfera|sferę]], dla której nie istnieje globalny układ współrzędnych, można przedstawić jako sumę dwóch częściowo pokrywających się części, których punkty da się opisać za pomocą odpowiednio dobranych [[Układ współrzędnych sferycznych|współrzędnych sferycznych]] (będących funkcjami klasy <math>C^{\infty}</math>).
== Definicja ==
 
[[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math> jest '''rozmaitością różniczkową''' (klasy <math>C^1</math> i wymiaru <math>n</math>, <math>0\leq n\leq N</math>), gdy:
== Rozmaitość różniczkowa klasy <math>C^1</math> ==
== Definicja ==:
 
[[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math> jestnazywa się '''rozmaitością różniczkową''' (klasy <math>C^1</math> i wymiaru <math>n</math>, <math>0\leq n\leq N</math>), gdy:
* <math>\forall_{p \in M}</math> istnieje w <math>\mathbb R^N</math> [[zbiór otwarty|otwarte]] [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] <math>U \ni p</math> oraz zbiór otwarty <math>V \subseteq \mathbb R^n</math> i
* [[homeomorfizm]] <math>\alpha: (U \cap M) \to V</math> taki, że odwzorowanie <math>\alpha^{-1}: V \to U \cap M</math> jest klasy <math>C^1</math> i [[różniczka]] <math>D\alpha^{-1}(x)</math> jest [[funkcja różnowartościowa|iniekcją]] dla każdego <math>x \in V</math>.
Funkcję <math>\alpha</math> nazywamy [[mapa (matematyka)|mapą]] rozmaitości, zaś <math>\alpha^{-1}</math> jej [[Równanie parametryczne|parametryzacją]].
 
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''', czy też raczejlub po prostu [[dyfeomorfizm|'''dyfeomorfizmem''',]] rozszerzejącrozszerzając w ten sposób jego definicję.
 
== Klasy ==
W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy <math>C^1</math> funkcji inną. '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^r</math>''' nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^r</math> dla <math>r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}</math>. [[Rozmaitość topologiczna]] jest rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>, z kolei '''rozmaitością analityczną''' nazywa się rozmaitość klasy <math>C^\omega</math>.
 
== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0</math>, <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> ==
W definicji rozmaitości można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez żądanie, by funkcja była nie klasy <math>C^1</math> ale wyższej. Wprowadza się przy tym definicje:
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>''' nazywa się [[Rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], która nie posiada map klasy <math>C^1</math>.
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}</math>.
* '''Rozmaitością klasy <math>C^\omega</math>''' nazywa się rozmaitość analityczną.
[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]]