Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
kat. |
Redakcja całości - wstęp mniej abstrakcyjny; ukonkretnienie przykładu z parametryzacją sfery. |
||
Linia 2:
{{Integracja|rozmaitość gładka}}
{{Dopracować|źródła=2012-08 }}
'''Rozmaitość różniczkowa''' – [[Rozmaitość|rozmaitość topologiczna]], którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych),
Podzbiory, na jakie dzieli się daną rozmaitość, nazywa się '''mapami''', a zbiór map nazywa się '''atlasem'''. Bez założenia wielości map wiele rozmaitości nie można by zaliczyć do rozmaitości różniczkowych. Np. [[Sfera|sferę]], dla której nie istnieje globalny układ współrzędnych, można przedstawić jako sumę dwóch częściowo pokrywających się części, których punkty da się opisać za pomocą odpowiednio dobranych [[Układ współrzędnych sferycznych|współrzędnych sferycznych]] (będących funkcjami klasy <math>C^{\infty}</math>).
== Definicja ==▼
[[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math> jest '''rozmaitością różniczkową''' (klasy <math>C^1</math> i wymiaru <math>n</math>, <math>0\leq n\leq N</math>), gdy:▼
== Rozmaitość różniczkowa klasy <math>C^1</math> ==
▲[[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math>
* <math>\forall_{p \in M}</math> istnieje w <math>\mathbb R^N</math> [[zbiór otwarty|otwarte]] [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] <math>U \ni p</math> oraz zbiór otwarty <math>V \subseteq \mathbb R^n</math> i
* [[homeomorfizm]] <math>\alpha: (U \cap M) \to V</math> taki, że odwzorowanie <math>\alpha^{-1}: V \to U \cap M</math> jest klasy <math>C^1</math> i [[różniczka]] <math>D\alpha^{-1}(x)</math> jest [[funkcja różnowartościowa|iniekcją]] dla każdego <math>x \in V</math>.
Linia 11 ⟶ 15:
Funkcję <math>\alpha</math> nazywamy [[mapa (matematyka)|mapą]] rozmaitości, zaś <math>\alpha^{-1}</math> jej [[Równanie parametryczne|parametryzacją]].
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem'''
== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0</math>, <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> ==
W definicji rozmaitości można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez żądanie, by funkcja była nie klasy <math>C^1</math> ale wyższej. Wprowadza się przy tym definicje:
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>''' nazywa się [[Rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], która nie posiada map klasy <math>C^1</math>.
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}</math>.
* '''Rozmaitością klasy <math>C^\omega</math>''' nazywa się rozmaitość analityczną.
[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]]
| |||