Twierdzenie Picarda: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Poprawki w sformułowaniu twierdzenia. |
m WP:SK, drobne techniczne |
||
Linia 24:
== Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań ==
Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego<ref>{{Cytuj |autor = Wydawnictwo Naukowe PWN. |tytuł = Równania różniczkowe zwyczajne : teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem programu rachunków symbolicznych |data = cop. 2017 |isbn = 9788301195915 |wydanie = Wyd. 2 - 1 dodr. (PWN) |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |oclc =
=== Twierdzenie ===
Niech <math>J \subseteq {\mathbb R}</math> będzie odcinkiem otwartym, zaś <math>\Omega \subseteq {\mathbb R}^n</math> będą [[Zbiór otwarty|zbiorami otwartymi]]. Niech <math>f : J \times \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^n</math> będzie [[Funkcja ciągła|ciągłą funkcją]] spełniającą lokalny jednostajny [[warunek Lipschitza]] ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego <math>(t_0, x_0) \in J \times \Omega</math> istnieją zbiory otwarte <math>U \subseteq J</math> i <math>V \subseteq \Omega</math> takie, że:
* <math>U \subseteq \mbox{cl}\ (U) \subseteq J</math> i <math>V \subseteq \mbox{cl}\ (V) \subseteq \Omega</math>,
* <math>(t_0, x_0) \in U \times V</math>,
* <math>\exists L>0 \ \forall t \in U \ \forall x,y \in V \ \|f(t,x)-f(t,y)\| \leq L \|x-y\|</math>.
Wówczas dla każdego <math>(t_0, x_0) \in J \times \Omega</math> istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie <math>u : I \longrightarrow \Omega</math> [[Zagadnienie Cauchy’ego|zagadnienia Cauchy’ego]]:
Linia 39:
Ponadto maksymalny odcinek ''I=(a,b)'' istnienia rozwiązania jest [[Zbiór otwarty|otwarty]] i zachodzi następująca alternatywa:
* ''inf J = a'' i ''sup J = b''
lub
* jeśli ''a > inf J'', to <math>\lim_{t\to a} \min \left\{ \mbox{dist} \left( u(t), \partial\Omega \right), \|u(t)\|^{-1} \right\} = 0,</math>
* jeśli ''b < sup J'', to <math>\lim_{t\to b} \min \left\{ \mbox{dist} \left( u(t), \partial \Omega \right), \|u(t)\|^{-1} \right\} = 0,</math>
== Bibliografia ==
Linia 51:
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Peana]]
== Linki zewnętrzne ==
* [http://mathworld.wolfram.com/PicardsExistenceTheorem.html Picard's Existence Theorem] w encyklopedii [[MathWorld]] {{lang|en}}
[[Kategoria:Równania różniczkowe zwyczajne]]
| |||