Równania Eulera-Lagrange’a: Różnice pomiędzy wersjami

'''Równania Eulera-Lagrange'aLagrange’a''', '''równania Lagrange'aLagrange’a''' – podstawowe równanie [[Rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnego]], którego rozwiązaniami są funkcje, dla których pewne wyrażenie dane [[całka oznaczona|całką oznaczoną]] jest [[Punkt stacjonarny|stacjonarne]].

rozwiązaniem równania Eulera-Lagrange'aLagrange’a:

: <math>\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial x'}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0</math>

są funkcje <math>x(t),</math>, dla których <math>S</math> jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń <math>x(t),</math>, <math>S</math> zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby <math>S</math> przyjmowało dla <math>x(t)</math> [[Ekstremum funkcji|ekstremum]].

Równanie Eulera-Lagrange'aLagrange’a zostało wprowadzone przez [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]] i [[Joseph Louis Lagrange|Josepha Louisa Lagrange'aLagrange’a]] w latach 1750 podczas prac związanych z problemem [[Tautochrona (fizyka)|tautochrony]].

Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał [[rachunek wariacyjny]] (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)<ref>[http://numericalmethods.eng.usf.edu/anecdotes/lagrange.pdf A short biography of Lagrange].</ref>.

Równania Eulera-Lagrange'aLagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi ([[linia geodezyjna|geodezyjnej]]), biegu promienia światła, czyli linii dla której [[droga optyczna]] jest najkrótsza ([[zasada Fermata]]) albo do minimalizacji energii ([[krzywa łańcuchowa]]).

: <math>S=\int\limits^{t_2}_{t_1}L dt,</math>,

: <math>L = E_{kin} - E_{pot},</math>,

: <math>E_{kin}</math> —– energia kinetyczna układu,

: <math>E_{pot}</math> —– energia potencjalna układu.

Aby <math>S</math> było stacjonarne, <math>L</math> musi spełniać równanie Eulera-Lagrange'aLagrange’a dla każdej [[Stan układu|zmiennej stanu]] <math>q_k(t)</math>:

: <math>\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\right ) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0,</math>,

: <math>\dot{q_k} = \frac{dq_k}{dt}.</math>.

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange'aLagrange’a mają swoje nazwy:

: <math>\frac{\partial L}{\partial q _{k}q_k} = F_{k}F_k</math> —– '''siła uogólniona''' (jej <math>k</math>-ta składowa)

: <math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q} _{k}_k} = p_{k}p_k</math> —– '''pęd uogólniony''' (jego <math>k</math>-ta składowa)

Mamy układ dwóch mas <math>m_1</math> <math>m_2</math> w stałym polu grawitacyjnym <math>\vec{g}</math> przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa.

Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.

Mamy:

: <math> E_{kin} = \frac{m_1 \dot{x_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{x_2}^2}{2} ,</math>,

: <math> E_{pot} = m_1g(-x_1) + m_2g(-x_2) .</math>.

Czyli lagrangian ma postać:

: <math> L = E_{kin} - E_{pot} = \frac{m_1 \dot{x_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{x_2}^2}{2} + m_1gx_1 + m_2gx_2 .</math>.

A ponieważ linka jest nierozciągliwa <math> x_1 = - x_2 + C ,</math>, gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:

: <math> L = \frac{(m_1+m_2) \dot{x_1}^2}{2} + (m_1-m_2)gx_1 + m_2gC .</math>.

Składowe równania Eulera-Lagrange'aLagrange’a:

: <math>\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}\right ) = \frac{d}{dt} \left ( {(m_1+m_2) \dot{x_1}} \right ) = {(m_1+m_2) \ddot{x_1}},</math>,

: <math>\frac {\partial L}{\partial x_1} = (m_1-m_2)g.</math>.

Z równania Eulera-Lagrange'aLagrange’a:

: <math> \frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x_1} = {(m_1+m_2) \ddot{x_1}} - (m_1-m_2)g=0 .</math>.

Rozwiązując względem <math>\ddot{x_1},</math>, otrzymujemy stałe przyspieszenie:

: <math> \ddot{x_1} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g .</math>.

Całkując powyższe równanie dwukrotnie otrzymamy :

: <math> x_1(t) = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g \frac{t^2}{2} + v_{1}v_1(0)t + x_{1}x_1(0) ,</math>,

gdzie <math>v_{1}v_1(0)</math> i <math>x_{1}x_1(0)</math> to prędkość i położenie masy <math>m_1</math> w chwili <math>t=0.</math>.

: <math> x_2(t) = - x_1(t) + C ,</math>,

Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości <math>mg</math> jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange'aLagrange’a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej <math>y(x),</math>, żeby czas <math>t</math> był minimalny.

: <math>t = \int\limits_A^B \frac{ds}{v} ,</math>,

: <math>v = \sqrt{2gy}</math> —– prędkość ciała, której zależność od <math>y</math> wynika z [[Zasada zachowania energii|zasady zachowania energii]],

: <math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{ (x'(y)) ^2 + 1}dy</math> —– [[różniczka]] drogi.

: <math>t = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B \sqrt{\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}}dy = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B fdy ,</math>,

gdzie

: <math>f = \sqrt{\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}}.</math>.

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej <math>x(y)</math> spełniającej równanie Eulera-Lagrange'aLagrange’a:

: <math>\frac{d}{dy} \frac{\partial f}{\partial x'} - \frac{\partial f}{\partial x} = 0 </math>

: <math>x(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (\theta - sin\theta),</math>,

: <math>y(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (1-cos\theta),</math>,

Równanie Eulera-Lagrange'aLagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową<ref>http://math.arizona.edu/~flaschka/Topmatter/527files/termpapers/smallwood.pdf.</ref>, która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym <math>g.</math>. Układ mechaniczny jest w [[Równowaga (mechanika)|równowadze]], gdy jego [[energia potencjalna]] jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

: <math>E_{pot} = \int\limits_A^B \rho g y(x) ds,</math>,

: <math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1+ (y'(x)) ^2}dx</math> —– [[różniczka]] długości krzywej.

: <math>E_{pot} = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2} y\sqrt{1+ (y'(x)) ^2}dx = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2} fdx,</math>,

: <math>f = y\sqrt{1+ (y'(x)) ^2}.</math>.

Aby energia potencjalna była minimalna, <math>f</math> musi spełniać równanie Eulera-Lagrange'aLagrange’a:

: <math>\frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0 .</math>.

: <math>y(x) = a \, \cosh \left (\frac{x \over }{a} \right ),</math>,

: <math>x: \mathbb R \to \mathbb R^n </math> i <math> x(t_1)=x_1, x(t_2)=x_2 </math>

Mamy daną funkcję <math>L(x,x',t)</math> i szukamy takich <math>x(t),</math>, żeby <math>S(x)= \int \limits_{t_1}^{t_2} Ldt</math> było stacjonarne.

Załóżmy, że <math>x_0</math> jest takim rozwiązaniem. Wtedy jeśli <math> x=x_0+ \varphi </math> to <math> \Delta S = S(x_0) - S(x) </math> jest małe w stosunku do <math>\varphi</math> (przybliżenie liniowe <math>\Delta S(\varphi)</math> jest równe 0).

Jeśli wprowadzimy parametr <math> y \in \mathbb R </math> niezależny od czasu i zapiszemy <math> x = x_0 + y\varphi</math> to zagadnienie sprowadza się do analizy funkcji jednej zmiennej <math> S(y) = \int \limits_{t_1}^{t_2} L(x_0+ y\varphi, {x_0}'+ y\varphi',t )dt ,</math>, oraz jeśli równanie jest stacjonarne, to <math>\frac{dS}{dy}=0</math>

: <math>0 = \frac{dS}{dy}= \int \limits_{t_1}^{t_2} (\varphi\frac{\partial L}{\partial x} + {\varphi}'\frac{\partial L}{\partial x'})dt = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi'\frac{\partial L}{\partial x'}dt </math>

Całkując drugi człon [[całkowanie przez części|przez części]], otrzymujemy:

<math>0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \Bigleft[ \varphi(t)\frac{\partial L}{\partial x'} \Bigright]_{t_1}^{t_2} - \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'}dt .</math>.

Ponieważ <math> x(t_1)=x_1 </math> dla każdego <math> x ,</math>, więc <math> \varphi(t_1) = 0 .</math>. Podobnie <math> \varphi(t_2) = 0 .</math>. Wobec tego <math> \Bigleft[ \varphi(t)\frac{\partial L}{\partial x'} \Bigright]_{t_1}^{t_2} = 0 </math>

: <math>0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi \left (\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'} \right ) dt.</math>.

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla każdej funkcji <math> \varphi ,</math>, więc wyrażenie <math>\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'} </math> musi być równe <math> 0 .</math>.

* {{cytuj książkę |nazwisko = Arnold |imię = W.I. | nazwisko = Arnold | autor link = Władimir Arnold | tytuł = Metody matematyczne mechaniki klasycznej | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | strony = 56-6156–61 | miejsce = Warszawa | rok = 1981 | isbn = 83-01-00143-7 | odn=tak }}

* {{cytuj książkę |nazwisko = Taylor |imię = John R. | nazwisko = Taylor | tytuł = Mechanika klasyczna | tom = 1 | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | strony = 212-271212–271 | rok = 2006 | isbn = 978-83-01-14674-0 | odn=tak }}