Rozmaitość pseudoriemannowska: Różnice pomiędzy wersjami

W ''n''-wymiarowej rozmaitości tensor metryczny <math>g_{\mu \nu}</math> określony w układzie [[Współrzędne krzywoliniowe|ortogonalnych współrzędnych krzywoliniowych]] ma współrzędne niezerowe tylko na diagonali, przy czym liczba dodatnich, ujemnych oraz zerowych współrzędnych <math>g_{\mu \nu}</math> tensora jest niezależna od wyboru ortogonalnego układu współrzędnych (tzw. prawo bezwładności Sylvestra). Liczby te tworzą tzw. sygnaturę <math>(p, q, r)</math> tensora metrycznego.

Rozmaitością '''pseudoriemannowską''' <math>(M,g)</math> nazywa się rozmaitość różniczkową <math>M</math>, w której zdefiniowano niezdegenerowany, gładki, symetryczny tensor metryczny <math>g</math>, o sygnaturze <math>(p,q)</math>, gdzie obie liczby <math>p</math> oraz <math>q</math> są nieujemne.

[[Czasoprzestrzeń Minkowskiego]] jest przykładem 4-wymiarowej przestrzeni pseudoeuklidesowej (będącej płaską wersją przestrzeni pseudoriemannowskiej)., gdzie tensor metryczny <math>g</math> ma sygnaturę <math>(1,3)</math> i zdany jest elementem liniowym w postaci

: <math>ds^2 = (dx^0)^2 - (dx^1)^2 - (dx^2)^2 - (dx^3)^2</math>

Przestrzeń ta stanowi podstawę matematycznego opisu [[czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]] w [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]]).

Rozmaitość Lorentzowska jest ważnym, szczególnym przypadkiem rozmaitości pseudoriemannowskich. Sygnaturan-wymiarowych, gdzie sygnatura metryki jest postaci <math>(1,n-1)</math> (lub równoważnie <math>(n-1,1)</math>.

Rozmaitość Lorentzowska 4-wymiarowa służy do modelowania czasoprzestrzeni w [[ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]], gdzie wymiar czasowy ma przeciwny znak do wymiarów przestrzennych. Różnica w znakach wynika z niezmienniczości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia. RozmaitośćZmiana tametryki wczasoprzestrzeni, ogólnościprowadząca jestdo zakrzywionajej (tj. posiada nieznikający [[Tensor krzywizny Riemanna|tensor krzywizny]]). Zakrzywienie tozakrzywienia, powstaje na skutek obecności materii (patrz: [[Równanie Einsteina|równania Einsteina]]).