Wikipedia

Wzór całkowy Cauchy’ego: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m drobne redakcyjne
Linia 1:
'''Wzór całkowy Cauchy’ego''' – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że [[funkcja holomorficzna]] zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.
 
Załóżmy, że ''<math>U''</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] zawartym w '''<math>\mathbf C'''</math> oraz ''<math>f''\colon : ''U'' →\to \mathbf '''C'''</math> jest funkcją holomorficzną, a koło ''D'' = {''z'' : | ''z'' −– ''z''<sub>0</sub>| ≤ ''r''} zawiera się w ''<math>U''</math>. Niech ''γ'' będzie okręgiem tworzącym brzeg ''<math>D''</math>. Wówczas dla każdego ''a'' należącego do wnętrza ''D'' zachodzi:
: <math>f(a) = \frac{1 \over }{2\pi i} \oint\limits_\gamma \frac{f(z) \over }{z-a}\, dz</math>▼
 
▲: <math>f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint\limits_\gamma {f(z) \over z-a}\, dz</math>
 
gdzie krzywa ''γ'' jest zorientowana dodatnio względem swego [[Wnętrze (matematyka)|wnętrza]] (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
Linia 9 ⟶ 8:
== Przykład użycia ==
Rozważmy funkcję
: <math>f(z)=\frac{z^2 \over }{z^2+2z+2}</math>
oraz kontur ''C'', opisany zależnością: |''z''|=2.▼
 
▲oraz kontur ''<math>C''</math>, opisany zależnością: <math>|''z''|=2</math>.
Aby znaleźć całkę ''f''(''z'') po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji ''f''(''z''). Funkcję ''f'' możemy zapisać:▼
: <math>f(z)={z^2 \over (z-z_1)(z-z_2)}</math> gdzie <math>z_1=-1+i, \quad z_2=-1-i.</math>▼
 
▲Aby znaleźć całkę ''<math>f''(''z'')</math> po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji ''<math>f''(''z'')</math>. Funkcję ''<math>f''</math> możemy zapisać:
Otrzymane punkty mają [[Wartość bezwzględna|moduł]] mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z [[Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego|lematu Cauchy’ego-Goursat’a]], możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów ''z''<sub>1</sub> i ''z''<sub>2</sub>, gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury ''C''<sub>1</sub> wokół ''z''<sub>1</sub> oraz ''C''<sub>2</sub> wokół ''z''<sub>2</sub>.▼
▲: <math>f(z)=\frac{z^2 \over }{(z-z_1)(z-z_2)}</math> gdzie <math>z_1=-1+i, \quad z_2=-1-i.</math>
 
▲Otrzymane punkty mają [[Wartość bezwzględna|moduł]] mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z [[Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego|lematu Cauchy’ego-Goursat’a]], możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów ''z''<submath>1z_1</submath> i ''z''<submath>2z_2</submath>, gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury ''C''<submath>1C_1</submath> wokół ''z''<submath>1z_1</submath> oraz ''C''<submath>2C_2</submath> wokół ''z''<submath>2z_2</submath>.
Zatem w ''C''<sub>1</sub> zdefiniowana poniżej funkcja ''g''<sub>1</sub> jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu ''z''<sub>2</sub>).▼
 
▲Zatem w ''C''<submath>1C_1</submath> zdefiniowana poniżej funkcja ''g''<submath>1g_1</submath> jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu ''z''<submath>2z_2</submath>).
: <math>g_1(z)=\frac{z^2 \over }{z-z_2}</math>
 
dlatego:
: <math>\oint\limits_{C_1} \frac{\left(\frac{z^2 \over }{z-z_2}\right) \over }{z-z_1}\,dz=2\pi i\frac{z_1^2 \over }{z_1-z_2}.</math>
 
Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:
: <math>g_2(z)=\frac{z^2 \over }{z-z_1}</math>
: <math>\oint\limits_{C_2} \frac{\left(\frac{z^2 \over }{z-z_1}\right) \over }{z-z_2}\,dz=2\pi i\frac{z_2^2 \over }{z_2-z_1}.</math>
 
Całka po obszarze ''<math>C''</math> jest sumą dwóch powyższych całek:
{|
|<math>\oint\limits_C \frac{z^2 \over }{z^2+2z+2}\,dz</math>
|<math>= \oint\limits_{C_1} \frac{\left(\frac{z^2 \over }{z-z_2}\right) \over }{z-z_1}\,dz + \oint\limits_{C_2} \frac{\left(\frac{z^2 \over }{z-z_1}\right) \over }{z-z_2}\,dz</math>
|-
|
|<math>= 2\pi i\left(\frac{z_1^2 \over }{z_1-z_2}+\frac{z_2^2 \over }{z_2-z_1}\right)</math>
|-
|
Linia 44 ⟶ 43:
 
== Zobacz też ==
* [[twierdzenie podstawowe Cauchy’ego]]▼
* [[Augustin Louis Cauchy]]
▲* [[twierdzenie podstawowe Cauchy’ego]]
 
[[Kategoria:Analiza zespolona]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzór_całkowy_Cauchy’ego”