Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>\Sigma = \{r(s,t),\, (s,t)\in D\}</math>, gdzie <math>r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))</math> oraz <math>r(D) = \Sigma</math>. Wówczas wykorzystując [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] oraz wzór na [[całka krzywoliniowa|całkę krzywoliniową]] (tu krzywą jest <math>r(s,t)</math>) otrzymujemy równość:

:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x'_s ds + x'_t dt)</math>

<small>(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math>)</small>

 

A więc z [[Twierdzenie Greena|twierdzenia Greena]] mamy:

:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial}{\partial s}((P\circ r)x'_t)-\frac{\partial}{\partial t}((P\circ r)x'_s)\right)ds\,dt</math>

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] i otrzymujemy:

:<math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial y}(x'_t y'_s - x'_s y'_t)+\frac{\partial P}{\partial z}(x'_t z'_s - x'_s z'_t)\right)ds\,dt</math>

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math> i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

gdzie <math>\vec{n}(s,t) = r'_s \times r'_t</math>

 

Załóżmy, że <math>H\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest orientowalną powierzchnią gładką, <math>K\subseteq H</math> jest [[przestrzeń zwarta|zbiorem zwartym]] oraz <math>K=\mbox{cl Int}K</math> oraz, że brzeg <math>\mbox{Fr}K</math> jest (''M''-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] zawierającym powierzchnię <math>H</math>, <math>\Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})</math> jest [[k-forma|formą]] klasy <math>C^1</math>, a <math>\sigma</math> jest orientacją powierzchni <math>H</math>, to

:<math>\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}}}\Omega</math>,

gdzie orientacja <math>\sigma^{\rm{Fr}}</math> powierzchni <math>\mbox{Fr}K</math> dana jest wzorem

:<math>\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(y)=\{(a_1, \ldots, a_{M-1})\in B_{(\scriptstyle{\rm{Fr}}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \ldots, a_{M-1})\in \sigma(y)\}</math>

dla <math>y\in \mbox{Fr}K</math>, a

:<math>z\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^N</math>

jest taką funkcją, że <math>z(y)</math> jest wektorem zewnętrznym do zbioru <math>K</math> w punkcie <math>y</math>, <math>|z(y)|=1</math>, <math>z(y)</math> jest wektorem normalnym do powierzchni <math>\mbox{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math> dla każdego <math>y\in \mbox{Fr}K</math>.

 

Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest zbiorem otwartym, ''K'' ⊆ ''W'' zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg Fr ''K'' jest (''N''-1)-wymiarową powierzchnią gładką oraz

:<math>z\colon \mbox{Fr}K\to\mathbb{R}^N</math>

jest funkcją o własnościach

* ''z''(''y'') jest wektorem zewnętrznym do ''K'' w punkcie ''y'',

Jeżeli <math>\omega\colon W\to\mathbb{R}^N</math> jest funkcją klasy <math>C^1</math>, to

:<math>\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)z(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K\mbox{div} \omega(y)dy</math>,

gdzie <math>\mbox{div}</math> oznacza operator [[dywergencja|dywergencji]].

 

Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^2</math> jest zbiorem otwartym, <math>K\subset W</math> jest zbiorem zwartym takim, że <math>K=\mbox{cl Int}K</math> oraz brzeg <math>\mbox{Fr}K</math> jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

:<math>s\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^2</math>

jest funkcją o własnościach

* <math>s(y)</math> jest wektorem stycznym do krzywej <math>\mbox{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math>

* <math>|s(y)|=1</math>

:<math>\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)s(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy</math>.