Wikipedia

Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m drobne techniczne
Linia 1:
[[Plik:Stokes George G.jpg|thumb|right|[[George Gabriel Stokes]] (1819-1903)]]
'''Twierdzenie Stokesa''' – twierdzenie mówiące, że [[cyrkulacja]] pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym [[Krzywa Jordana|konturze]] gładkim jest równa strumieniowi [[rotacja|rotacji]] pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w [[teoria pola (fizyka)|teorii pól]]. Używane jest w [[mechanika płynów|mechanice płynów]], [[równania Maxwella|równaniach Maxwella]] i wielu innych. [[Twierdzenie Greena|Twierdzenia Greena]] i [[Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|Ostrogradskiego-Gaussa]] można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.
 
== Twierdzenie Stokesa w przestrzeni <math> \mathbb{R}^3</math> ==
Jeżeli <math>\Sigma</math> jest płatem powierzchni w <math> \mathbb{R}^3,</math>, a <math>\partial \Sigma</math> jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego [[pole wektorowe|pola wektorowego]] <math>F \colon= P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k},</math>, (gdzie <math>F \in C^{1}(\bar{\Sigma})</math>) mamy:
: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma}) = \iint\limits_{\Sigma}\mboxtext{rot}\vec{F}d\vec{\Sigma}</math>
 
=== Dowód ===
Niech <math>\Sigma = \{r(s,t),\, (s,t)\in D\},</math>, gdzie <math>r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))</math> oraz <math>r(D) = \Sigma.</math>. Wówczas wykorzystując [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] oraz wzór na [[całka krzywoliniowa|całkę krzywoliniową]] (tu krzywą jest <math>r(s,t)</math>) otrzymujemy równość:
: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x'_s ds + x'_t dt)</math>
 
<small>(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math>)</small>
 
A więc z [[Twierdzenie Greena|twierdzenia Greena]] mamy:
: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}limits_D\left(\frac{\partial}{\partial s}((P\circ r)x'_t)-\frac{\partial}{\partial t}((P\circ r)x'_s)\right)ds\,dt</math>
 
Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] i otrzymujemy:
: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_{D}limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial y}(x'_t y'_s - x'_s y'_t)+\frac{\partial P}{\partial z}(x'_t z'_s - x'_s z'_t)\right)ds\,dt</math>
 
Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math> i wyniki zsumujemy, otrzymamy:
: <math>\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma})=\iint\limits_{D}limits_D(\mboxtext{rot}F(s,t))\circ \vec{n}(s,t) ds\,dt,</math>,
 
gdzie <math>\vec{n}(s,t) = r'_s \times r'_t</math>
 
Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego <math>\mboxtext{rot}F</math> przez płat <math>\Sigma.</math>. Co daje tezę.
 
== Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa ==
Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla ''n''-wymiarowych powierzchni gładkich.
 
Załóżmy, że <math>H\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest orientowalną powierzchnią gładką, <math>K\subseteq H</math> jest [[przestrzeń zwarta|zbiorem zwartym]] oraz <math>K=\mboxtext{cl Int}K</math> oraz, że brzeg <math>\mboxtext{Fr}K</math> jest (''M''-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] zawierającym powierzchnię <math>H,</math>, <math>\Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})</math> jest [[k-formaForma różniczkowa|formą]] klasy <math>C^1,</math>, a <math>\sigma</math> jest orientacją powierzchni <math>H,</math>, to
: <math>\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}}}\Omega,</math>,
 
gdzie orientacja <math>\sigma^{\rm{Fr}}</math> powierzchni <math>\mboxtext{Fr}K</math> dana jest wzorem
: <math>\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(y)=\{(a_1, \ldots, a_{M-1})\in B_{(\scriptstyle{\rm{Fr}}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \ldots, a_{M-1})\in \sigma(y)\}</math>
 
dla <math>y\in \mboxtext{Fr}K,</math>, a
: <math>z\colon \mboxtext{Fr}K\to \mathbb{R}^N</math>
 
jest taką funkcją, że <math>z(y)</math> jest wektorem zewnętrznym do zbioru <math>K</math> w punkcie <math>y,</math>, <math>|z(y)|=1,</math>, <math>z(y)</math> jest wektorem normalnym do powierzchni <math>\mboxtext{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math> dla każdego <math>y\in \mboxtext{Fr}K.</math>.
 
=== Wnioski ===
==== Wzór Gaussa-Ostrogradskiego ====
Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest zbiorem otwartym, ''K'' ⊆ ''W'' zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg Fr ''K'' jest (''N''-1)-wymiarową powierzchnią gładką oraz
: <math>z\colon \mboxtext{Fr}K\to\mathbb{R}^N</math>
 
jest funkcją o własnościach
Linia 49:
* ''z''(''y'') jest wektorem normalnym do Fr ''K'' w punkcie ''y'' leżącym na brzegu Fr ''K''.
 
Jeżeli <math>\omega\colon W\to\mathbb{R}^N</math> jest funkcją klasy <math>C^1,</math>, to
: <math>\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)z(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K\mboxtext{div} \omega(y)dy,</math>,
 
gdzie <math>\mboxtext{div}</math> oznacza operator [[dywergencja|dywergencji]].
 
==== Wzór Greena-Riemanna ====
{{osobny artykuł|Twierdzenie Greena}}
Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^2</math> jest zbiorem otwartym, <math>K\subset W</math> jest zbiorem zwartym takim, że <math>K=\mboxtext{cl Int}K</math> oraz brzeg <math>\mboxtext{Fr}K</math> jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto
: <math>s\colon \mboxtext{Fr}K\to \mathbb{R}^2</math>
 
jest funkcją o własnościach
* <math>s(y)</math> jest wektorem stycznym do krzywej <math>\mboxtext{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math>
* <math>|s(y)|=1</math>
* <math>\det[z(y), s(y)]>0,</math>,
 
gdzie <math>z(y)</math> jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy <math>N=2</math>). Jeżeli <math>\omega=(\omega_1, \omega_2)\colon W\to \mathbb{R}^2</math> jest funkcją klasy <math>C^1,</math>, to
: <math>\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)s(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy.</math>.
 
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Stokesa”